PROBLÈMES · CALCUL LITTÉRAL

Modéliser avec une expression littérale

Traduire une situation par une expression qui dépend de \(x\).

S’entraîner

Modéliser, qu’est-ce que cela signifie ?

Modéliser consiste à choisir une lettre pour représenter une grandeur variable, puis à traduire les relations de l’énoncé par une expression littérale.

  1. Préciser ce que représente \(x\) et repérer la grandeur recherchée.
  2. Traduire séparément chaque information de l’énoncé.
  3. Relier les grandeurs par une somme ou une différence.
  4. Réduire l’expression lorsque c’est possible, puis vérifier son sens.
Rappels

Les outils du calcul littéral

Réduire, c’est regrouper les termes de même nature : \(3x+5x-2=8x-2\). Revoir le cours sur la réduction.

Développer, c’est transformer un produit en somme grâce à la distributivité : \(3(x+4)=3x+12\). Revoir la simple distributivité et la double distributivité.

Factoriser, c’est transformer une somme en produit : \(5x+15=5(x+3)\). Revoir le cours sur la factorisation.

Deux écritures différentes peuvent représenter la même expression : \[3x+7+2x=5x+7\]
Level 0 · Géométrie

Compléter une longueur

Les points A, B et C sont alignés dans cet ordre. On sait que \(AB=3x\) cm et \(BC=7\) cm. Exprimer \(AC\) en fonction de \(x\).

Correction \[\begin{aligned} AC&=AB+BC\\ AC&=3x+7 \end{aligned}\]

Le point B est entre A et C : la longueur totale \(AC\) est donc la somme des deux longueurs partielles.

Level 1 · Géométrie

Additionner plusieurs expressions

Les points A, B, C et D sont alignés dans cet ordre. On donne \(AB=2x\) cm, \(BC=x+4\) cm et \(CD=5\) cm. Exprimer \(AD\) en fonction de \(x\).

Correction \[\begin{aligned} AD&=AB+BC+CD\\ AD&=2x+(x+4)+5\\ AD&=3x+9 \end{aligned}\]

On traduit d’abord la décomposition de la longueur, puis on regroupe les termes en \(x\) et les nombres.

Level 2 · Prix

Retrouver une partie à partir du total

Un stylo coûte \(x\) euros. Sam commande 7 stylos et paie 6 € de frais de port. Jasmine bénéficie des frais de port gratuits. Les deux commandes coûtent au total 66 €. Exprimer le montant payé par Jasmine en fonction de \(x\).

Correction \[\begin{aligned} S(x)&=7x+6\\ J(x)&=66-S(x)\\ J(x)&=66-(7x+6)\\ J(x)&=60-7x \end{aligned}\]

Pour retrouver le montant de Jasmine, on retire du total tout ce que Sam a payé.

Level 3 · Course

Modéliser un départ après la ligne

Un tour de piste mesure \(x\) mètres. Lina effectue 2 tours et Noé en effectue le triple, soit 6 tours. Lina part après la ligne. Ensemble, ils parcourent 152 m. On note \(d(x)\) la distance entre son départ et la ligne.

Correction \[\begin{aligned} 2x+6x-d(x)&=152\\ 8x-d(x)&=152\\ -d(x)&=152-8x\\ d(x)&=-152+8x && \text{(passage à l’opposé)} \end{aligned}\]

Un départ après la ligne raccourcit la distance parcourue : le décalage est donc soustrait. Le passage de \(-d(x)\) à \(d(x)\) change le signe de chaque terme du membre de droite.

Erreurs fréquentes

  • Ne pas respecter l’ordre des points dans une somme de longueurs.
  • Oublier les parenthèses lorsqu’on soustrait une expression entière.
  • Réduire ensemble des termes qui ne sont pas de même nature.
  • Ajouter le décalage d’un départ après la ligne, alors qu’il raccourcit la distance.
  • Passer de \(-d(x)=E(x)\) à \(d(x)=E(x)\) sans changer tous les signes.

À retenir

  • Une expression décrit une grandeur qui dépend de \(x\).
  • On écrit d’abord la relation entre les grandeurs avant de remplacer les longueurs, prix ou distances.
  • Soustraire une expression impose de conserver ses parenthèses.
  • Deux expressions équivalentes sont acceptables, même si une forme réduite est plus lisible.