DÉVELOPPEMENT
S’entraîner
Double distributivité
Développer le produit de deux sommes en effectuant les quatre produits nécessaires.
L’idée essentielle
Cette notion est abordée en quatrième, dans le cadre du développement d'une expression littérale.
Ce principe découle directement de la simple distributivité
(voir ici).
Développer, c'est transformer un produit en somme. Dans ce produit, il doit y avoir au moins une
expression entre parenthèses. Lorsqu'il y en a deux, on parle de double distributivité.
La forme générale des expressions auxquelles on peut appliquer la double distributivité est :
Méthode
\[ (a + b)(c + d)\]
ce qui donne une fois développée :
Méthode
\[
a\times c + a\times d + b\times c + b\times d
\]
On dit qu'on a distribué la multiplication sur l'addition.
Remarque : Souvent, on ne note pas le signe de multiplication, ce qui donne :
Méthode
\[
(a + b)(c + d)
=
ac + ad + bc + bd
\]
Après le développement, il faut regrouper et réduire les termes de même famille
(voir Réduction).
Une manière géométrique de voir la distributivité est d'utiliser deux manières différentes de calculer
l'aire d'un rectangle partagé en deux :
Exemple
\[
(\color{red}{4x} + \color{blue}{3})(\color{red}{5x} + \color{blue}{6})
\]
\[
\color{red}{4x}\times\color{red}{5x}
+
\color{red}{4x}\times\color{blue}{6}
+
\color{blue}{3}\times\color{red}{5x}
+
\color{blue}{3}\times\color{blue}{6}
\]
\[
\color{orange}{20x^2} + \color{red}{24x} + 15x + \color{blue}{18}
\]
\[
\color{orange}{20x^2} + \color{red}{39x} + \color{blue}{18}
\]
Lorsqu'il y a des signes moins :
Exemple
\[
(4x-2)(-5x-3)
\]
\[
(4x + (-2))((-5x) + (-3))
\]
\[
-20x^2 + (-12x) + 10x + 6
\]
\[
-20x^2 - 2x + 6
\]
On peut aussi utiliser un tableau comme le suivant, qui utilise le principe des multiplications posées :
Erreurs fréquentes
- Oublier l’un des quatre produits.
- Perdre le signe d’un terme négatif pendant une multiplication.
- Réduire avant d’avoir effectué tous les produits.
- Confondre \(x\times x=x^2\) et \(x+x=2x\).
À retenir
\[(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\]