MULTIPLICATIONS ET DIVISIONS DE RELATIFS

Multiplications et divisions de nombres relatifs

Déterminer le signe d’un produit ou d’un quotient, puis calculer avec les distances à zéro.

Multiplications Divisions

Règles

Pour multiplier deux nombres relatifs, il faut d'abord déterminer le signe du résultat.
Méthode \[ {\color{blue}+}\times{\color{blue}+}={\color{blue}+} \] \[ {\color{red}-}\times{\color{red}-}={\color{blue}+} \] \[ {\color{blue}+}\times{\color{red}-}={\color{red}-} \] \[ {\color{red}-}\times{\color{blue}+}={\color{red}-} \]
On retrouve la même logique que pour les règles de simplification d'écritures de relatifs. Pour simplifier, on évitera d'écrire le signe (+) devant les nombres positifs.
Partie 1

Le cas de deux facteurs

Le produit de deux nombres de même signe est positif.
Exemple \[ {\color{red}(-4)}\times{\color{red}(-3)}={\color{blue}12} \]
Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif.
Exemple \[ {\color{blue}5}\times{\color{red}(-6)}={\color{red}-30} \]
Partie 2

Le cas de plusieurs facteurs

Lorsqu'il y a plusieurs facteurs, on compte le nombre de facteurs négatifs.
Méthode \[ n=\text{nombre de facteurs négatifs} \]
Si \(n\) est pair, le résultat est positif.
Exemple \[ {\color{red}(-2)}\times{\color{red}(-3)}\times{\color{blue}4} \]
Il y a 2 facteurs négatifs. Comme 2 est pair, le résultat est positif.
Exemple \[ (-2)\times(-3)\times4=24 \]
Si \(n\) est impair, le résultat est négatif.
Exemple \[ {\color{red}(-2)}\times{\color{red}(-3)}\times{\color{red}(-4)} \]
Il y a 3 facteurs négatifs. Comme 3 est impair, le résultat est négatif.
Exemple \[ (-2)\times(-3)\times(-4)=-24 \]
Dans tous les cas, le nombre de facteurs positifs ne change pas le signe du produit. On peut retenir que les signes − se transforment en + deux par deux.
Partie 3

Divisions de nombres relatifs

Les règles de signes sont les mêmes que pour les multiplications. Le diviseur doit toujours être non nul.
Règle \[ {\color{blue}+}\div{\color{blue}+}={\color{blue}+} \] \[ {\color{red}-}\div{\color{red}-}={\color{blue}+} \] \[ {\color{blue}+}\div{\color{red}-}={\color{red}-} \] \[ {\color{red}-}\div{\color{blue}+}={\color{red}-} \]
Cela s'explique par la règle suivante :
Règle \[ \boxed{\text{Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse.}} \]
Comme un nombre non nul et son inverse ont le même signe, on retrouve les règles de la multiplication.
Exemple \[ a\div b=a\times\frac1b \]
Exemples :
Exemple \[ (-20)\div 5=-4 \]
Exemple \[ (-20)\div(-5)=4 \]
Exemple

Exemple complet

Exemple \[ (-3)\times 4 \times (-2) \times (-5) \]
On compte les facteurs négatifs :
Exemple \[ {\color{red}-3},\quad {\color{red}-2},\quad {\color{red}-5} \]
Il y a 3 facteurs négatifs. Le résultat est donc négatif.
Exemple \[ 3\times4\times2\times5=120 \]
Exemple \[ (-3)\times4\times(-2)\times(-5)=\boxed{-120} \]
Méthode

Méthode à retenir

  1. Compter le nombre de facteurs négatifs.
  2. Si ce nombre est pair, le résultat est positif.
  3. Si ce nombre est impair, le résultat est négatif.
  4. Calculer ensuite avec les distances à zéro.
Pour les additions et soustractions de nombres relatifs, voir le cours : Additions et soustractions de relatifs
Pour les calculs avec plusieurs opérations, voir le cours : Priorités opératoires

Erreurs fréquentes

  • Utiliser les règles de l’addition pour déterminer le signe d’un produit.
  • Compter les facteurs positifs au lieu des facteurs négatifs.
  • Oublier qu’une division par zéro est impossible.

À retenir

Même signe : résultat positif. Signes contraires : résultat négatif. On calcule ensuite avec les distances à zéro.