ENTIERS RELATIFS

Priorités opératoires avec des relatifs

Repérer les opérations prioritaires et organiser les étapes d’un calcul avec des nombres relatifs.

S’entraîner

Introduction

Quand un calcul contient plusieurs opérations, on ne calcule pas forcément de gauche à droite. Il faut respecter les priorités opératoires.
L'ordre de priorité est :
  1. Les calculs entre parenthèses.
  2. Les multiplications et les divisions.
  3. Les additions et les soustractions.
Méthode \[ \boxed{ \text{Parenthèses} \quad \rightarrow \quad \text{Multiplications / Divisions} \quad \rightarrow \quad \text{Additions / Soustractions} } \]
Exemple 1

Exemple sans parenthèses

Exemple \[ -4+3\times(-5) \]
La multiplication est prioritaire.
Exemple \[ 3\times(-5)=-15 \]
Donc :
Exemple \[ -4+3\times(-5) = -4+(-15) \]
Exemple \[ -4+(-15) =-19 \]
Présentation recommandée : il est préférable de présenter les calculs verticalement, en soulignant le ou les calculs effectués à chaque étape.
Exemple \[ \begin{aligned} &A = \underline{4\times 5} + 3 \times (\underline{4+8})\\ &A = 20 + \underline{3 \times 12}\\ &A = \underline{20 + 36}\\ &A = 56 \end{aligned} \]
Exemple 2

Exemple avec parenthèses

Exemple \[ (-4+3)\times(-5) \]
Les parenthèses sont prioritaires.
Exemple \[ -4+3=-1 \]
Donc :
Exemple \[ (-4+3)\times(-5) = (-1)\times(-5) \]
Exemple 1 \[ (-1)\times(-5) =5 \]
Les deux calculs ci-dessous se ressemblent, mais ils ne donnent pas le même résultat.
Exemple \[ -4+3\times(-5)=-19 \]
Exemple \[ (-4+3)\times(-5)=5 \]
Exemple 3

Exemple complet

Exemple \[ 7-\underline{(-3)\times2}+(-4) \]
On commence par la multiplication :
Exemple \[ (-3)\times2=-6 \]
On remplace dans le calcul :
Exemple \[ 7-(-6)+(-4) \]
On simplifie l'écriture :
Exemple \[ {\color{blue}7\,+\,6}{\color{red}\,-\,4} \]
Puis on termine :
Exemple \[ {\color{blue}13}{\color{red}\,-\,4}=9 \]
Exemple \[ \boxed{7-(-3)\times2+(-4)=9} \]
Exemple 4

Avec plusieurs multiplications et divisions

Exemple \[ -18\div(-3)+2\times(-4) \]
On commence par les divisions et les multiplications :
Exemple \[ -18\div(-3)=6 \]
Exemple \[ 2\times(-4)=-8 \]
Donc :
Exemple \[ -18\div(-3)+2\times(-4) = 6+(-8) \]
Exemple \[ -18\div(-3)+2\times(-4) = -2 \]
Méthode

Méthode à retenir

  1. Calculer d'abord les parenthèses.
  2. Calculer les multiplications et divisions.
  3. Simplifier les écritures.
  4. Regrouper les positifs et les négatifs si nécessaire.
  5. Finir les additions et soustractions.
  6. Les opérations de même priorité se calculent de gauche à droite.
  7. Présenter verticalement en soulignant le ou les calculs faits à chaque étape.
Pour revoir les règles d'additions et de soustractions de relatifs : Additions et soustractions de relatifs
Pour revoir les règles de multiplications et divisions de relatifs : Multiplications et divisions de relatifs

Erreurs fréquentes

  • Effectuer systématiquement le calcul de gauche à droite.
  • Oublier qu’une multiplication reste prioritaire devant une soustraction.
  • Supprimer des parenthèses sans simplifier correctement les signes.

À retenir

Parenthèses, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions. Deux opérations de même priorité se calculent de gauche à droite.