ADDITIONS ET SOUSTRACTIONS DE RELATIFS

Additions et soustractions de nombres relatifs

Transformer une soustraction en addition, simplifier les signes et calculer une somme de nombres relatifs.

S’entraîner

Introduction

Un nombre relatif peut être positif ou négatif. On travaille principalement avec des nombres entiers, mais on peut aussi utiliser des écritures décimales. On distingue le signe de ce qu'on appelle la distance à zéro, aussi appelée valeur absolue. Elle est toujours positive ou nulle.
Exemple \[ {\color{blue}+7} \qquad {\color{red}-4} \]
La distance à zéro de + 7 est 7 et celle de - 4 est 4. Avant de calculer, il faut souvent commencer par simplifier l'écriture.

Règle importante :

Méthode \[ \boxed{ \text{Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.} } \]
Méthode \[ a-b=a+(-b) \]
Par exemple :
Exemple \[ 7-3 = 7+(-3) \]
Exemple \[ 7-(-3)=7+3 \]
Attention \(- \, a \) n'est pas forcément un nombre négatif ! C'est l'opposé du nombre \( a \).
Et si \( a \) est négatif alors \(- \, a \) sera positif.
On utilise les simplifications suivantes :
Méthode \[ +(+\,a) = + \,\,a \] \[ +(-\,a) = - \,\,a \] \[ -(+\,a) = - \,\,a \] \[ -(-\,a) = + \,\,a \]
Exemple :
Exemple \[ 8-(-5)+(-3)-(+7) \]
On simplifie l'écriture :
Exemple \[ 8+5-3-7 \]
Quand il ne reste que des additions et des soustractions, on peut regrouper les positifs et les négatifs.
Exemple \[ {\color{blue}8+5}{\color{red}\,-\,3-7} \]
Exemple \[ {\color{blue}13}{\color{red}\,-\,10} \]
Exemple \[ 13-10=3 \]
Donc :
Exemple \[ \boxed{8-(-5)+(-3)-(+7)=3} \]
Cas 1

Additionner deux nombres de même signe

Si les deux nombres ont le même signe, on additionne les distances à zéro et on garde le signe commun.
Exemple \[ {\color{blue}+4}+{\color{blue}(+7)} = {\color{blue}+11} \]
Exemple \[ {\color{red}-4}+{\color{red}(-7)} = {\color{red}-11} \]
Cas 2

Additionner deux nombres de signes contraires

Si les deux nombres ont des signes contraires, on soustrait les distances à zéro.
Le signe du résultat est celui du nombre qui a la plus grande distance à zéro.
Exemple \[ {\color{blue}+9}+{\color{red}(-4)} = {\color{blue}+5} \]
Exemple \[ {\color{blue}+3}+{\color{red}(-8)} = {\color{red}-5} \]
Exemple

Exemple complet

Exemple \[ -6+4-(-8)+(-3)-(+5) \]
On simplifie l'écriture :
Exemple \[ {\color{red}-6}\,{\color{blue}+4\,+8}\,{\color{red}-3\,-5} \]
On regroupe les positifs et les négatifs :
Exemple \[ {\color{blue}+4\,+8}\,{\color{red}-6\,-3\,-5} \]
Exemple \[ {\color{blue}+12}\,{\color{red}-14} \]
Exemple \[ 12-14=-2 \]
Donc :
Exemple \[ \boxed{-6+4-(-8)+(-3)-(+5)=-2} \]
Méthode

Méthode à retenir

  1. Simplifier les écritures avec les signes \(+\) et \(-\).
  2. Quand il ne reste que des \(+\) et des \(-\), regrouper les positifs ensemble et les négatifs ensemble
  3. Le signe d'un nombre se situe toujours à gauche de lui-même. Tu peux utiliser de la couleur pour mieux distinguer les positifs des négatifs
  4. Additionner les positifs entre eux et les négatifs entre eux ce qui est facile car dans les deux cas on additionne les distances zéro, il faut juste se rappeler que la somme de nombres négatifs est toujours un nombre négatif
  5. On termine le calcul en additionnant un positif et un négatif
Axe gradué

Visualiser un calcul sur un axe gradué

Sur un axe vertical, ajouter un nombre positif revient à monter, tandis qu'ajouter un nombre négatif revient à descendre.
Exemple :
Exemple \[ 4 - 6 = -2 \]
Visualisation de 4 moins 6
On part de \(4\), puis on descend de \(6\) unités. On arrive à \(-2\).
Autre exemple :
Exemple \[ -5 + 3 = -2 \]
Visualisation de moins 5 plus 3 sur un axe gradué
On part de \(-5\), puis on monte de \(3\) unités. On arrive à \(-2\).
Dernier exemple :
Exemple \[ -3 + 4 = 1 \]
Visualisation de moins 3 plus 4 sur un axe gradué
On part de \(-3\), puis on monte de \(4\) unités. On arrive à \(1\).
Pour les multiplications et divisions de nombres relatifs, voir le cours : Multiplications et divisions de relatifs
Pour les calculs avec plusieurs opérations, voir le cours : Priorités opératoires

Erreurs fréquentes

  • Appliquer la règle des signes de la multiplication à une addition.
  • Oublier que soustraire un nombre revient à ajouter son opposé.
  • Séparer un nombre de son signe lors d’un regroupement.

À retenir

On simplifie d’abord les signes, puis on regroupe les termes positifs et les termes négatifs avant de terminer le calcul.