FRACTIONS

Diviser des fractions

Transformer une division en multiplication par l’inverse, puis appliquer les méthodes de multiplication.

S’entraîner

Règle

Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse.

Propriété \[ \boxed{ \frac{a}{b}\div\frac{c}{d} =\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}} \qquad(b\neq0,\ c\neq0\text{ et }d\neq0) \]

On conserve la première fraction, on remplace la division par une multiplication et on inverse la deuxième fraction.

Inverse et opposé

L’inverse d’un nombre non nul est le nombre par lequel il faut le multiplier pour obtenir \(1\).

Exemples \[ \text{L’inverse de }\frac{3}{5}\text{ est }\frac{5}{3}, \qquad \text{l’inverse de }4\text{ est }\frac14. \]

Il ne faut pas confondre l’inverse de \(\frac35\), qui est \(\frac53\), avec son opposé, qui est \(-\frac35\). L’inverse de zéro n’existe pas.

Exemple 1 — appliquer la règle

Calcul \[ \begin{aligned} A&=\frac{7}{4}\div\frac{6}{5}\\ A&=\frac{7}{4}\times\frac{5}{6}\\ A&=\frac{35}{24} \end{aligned} \]

Exemple 2 — simplifier avant de multiplier

Calcul \[ \begin{aligned} A&=\frac{18}{35}\div\frac{27}{14}\\ A&=\frac{18}{35}\times\frac{14}{27}\\ A&=\frac{2\times{\color{blue} 9}}{5\times {\color{red} 7}}\times\frac{2\times{\color{red} 7}}{3\times{\color{blue} 9}}\\ A&=\frac{4}{15} \end{aligned} \]

Diviser par un entier

On écrit l’entier sous la forme d’une fraction de dénominateur \(1\), puis on l’inverse.

Exemple \[ \frac{5}{6}\div4 =\frac{5}{6}\div\frac41 =\frac{5}{6}\times\frac14 =\frac{5}{24} \]

Les quatre niveaux de l’exercice

  • Niveau 1 : deux fractions positives avec de petites valeurs.
  • Niveau 2 : deux fractions pouvant comporter des nombres négatifs.
  • Niveau 3 : deux fractions avec des simplifications croisées.
  • Niveau 4 : un enchaînement de trois facteurs après l’inversion, avec signes et simplifications.

Une fois la division transformée, les niveaux et les méthodes sont exactement les mêmes que dans le cours Multiplier des fractions.

Erreurs fréquentes

  • Inverser la première fraction au lieu de la deuxième.
  • Inverser les deux fractions.
  • Conserver le signe de division après avoir inversé la deuxième fraction.
  • Confondre l’inverse et l’opposé.
  • Oublier qu’une division par zéro est impossible.

À retenir

  1. Conserver la première fraction.
  2. Remplacer \(\div\) par \(\times\).
  3. Inverser la deuxième fraction.
  4. Appliquer les règles de multiplication de fractions.
  5. Simplifier le résultat final.