Liste des caractères autorisés supplémentaires
.\space \space , \space \space r \space \space R
Ainsi on pourra noter
r115 ou
R115 pour
\sqrt{115}. Dans certains cas la racine carrée se "simplifie bien" c'est à dire qu'elle donne un résultat décimal. Dans ce c'est l'écriture décimale qu'il faut utiliser.
Exemple : \sqrt{10,24} = 3,2
Le théorème de Pythagore est un théorème fondamental de géométrie. Il permet, lorsqu'on connaît les longueurs des 3 côtés d'un triangle, de savoir si il est rectangle ou pas. Il permet aussi de calcul la longueur d'un côté, dans un triangle rectangle, à partir des longueurs des deux autres côtés. Il s'énonce ainsi :
Il est équivalent de dire qu'un triangle est rectangle ou que le carré du plus grand de ses côtés est égal à la somme des carrés des deux autres.
On appelle hypoténuse le plus grand côté d'un triangle rectangle.
Ce chapitre est vu la première fois en quatrième puis retravaillé en troisième. C'est un théorème de géométrie mais qui fait principalement appel à du calcul. Il y a deux utilisations possibles de ce théorème :
• Calculer une longueur dans un triangle rectangle :
\text{Dans ABC rectangle en B, AB = 4,2 m, AC = 7 m} \newline \text{Déterminer la valeur exacte de BC.}
Rédaction :
\text{Dans le triangle ABC rectangle en \color{red}B\color{black}} \newline \text{D'après le théorème de Pythagore (sens direct)} \newline A\color{red}B\color{black}^2 + \color{red}B\color{black}C^2 = AC^2 \newline 4,2^2 + BC^2 = 7^2 \newline BC^2 = 49 - 17,64 \newline BC^2 = 31,36 \newline BC = \sqrt{31,36}
• Prouver qu'un triangle est rectangle :
\text{Soit OMG un triangle, OM = 12 m, OG = 13 m et MG = 5 m} \newline \text{Déterminer si le triangle est rectangle.}
Rédaction :
\text{OG est le plus grand côté du triangle O\color{red}M\color{black}G} \newline OG^2 = 13^2 = \color{green}169\color{black} \newline O\color{red}M\color{black}^2 + \color{red}M\color{black}G^2 = 12^2 + 5^2 = \color{green}169\color{black} \newline OG^2 = O\color{red}M\color{black}^2 + \color{red}M\color{black}G^2 \newline \text{D'après le théorème de Pythagore (sens réciproque)} \newline \text{OMG est rectangle en \color{red}M\color{black}} \newline
• Prouver qu'un triangle n'est pas rectangle :
\text{Soit ZUT un triangle, ZU = 8 m, ZT = 10 m et UT = 13 m} \newline \text{Déterminer si le triangle est rectangle.}
Rédaction :
\text{UT est le plus grand côté du triangle \color{red}Z\color{black}UT} \newline UT^2 = 13^2 = \color{red}169\color{black} \newline U\color{red}Z\color{black}^2 + \color{red}Z\color{black}T^2 = 10^2 + 8^2 = \color{red}164\color{black} \newline UT^2 \neq U\color{red}Z\color{black}^2 + \color{red}Z\color{black}T^2 \newline \text{D'après le théorème de Pythagore (sens contraposée)} \newline \text{ZUT n'est pas un triangle rectangle} \newline
Les exercices portent uniquement sur des calculs de longueurs, la difficulté de vérifier qu'un triangle est rectangle ou non provient uniquement de la rédaction. En mode facile les longueurs sont des nombres entiers, en mode normal ce sont des nombres décimaux et en mode difficile il faut appliquer deux fois le théorème de Pythagore : une première fois pour calculer la hauteur du triangle et une seconde fois pour calculer le côté manquant. La hauteur d'un triangle le partage en deux triangles rectangles, ce qui permet d'appliquer le théorème de Pythagore dans deux triangles.
