Liste des caractères autorisés supplémentaires : \% et . et ,
Savoir manipuler les pourcentages est essentiel dans la vie de tous les jours. Il faut notamment distinguer la détermination d'un pourcentage à partir de deux grandeur et l'application d'un pourcentage à une valeur. Comme de nombreux chapitres du collège les pourcentages font appel à la proportionnalité. Il s'agit de se ramener, non pas une unité comme on le fait souvent (prix au kilogramme, prix au litre,...) mais à 100 unités.
Les différents cas :
• Déterminer un pourcentage :
\text{Dans un groupe de 30 personnes il y a 18 enfants.} \newline \text{Quel est le pourcentage d'enfants ?}
Il s'agit ici de considérer qu'il y a "18 enfants pour 30 personnes". Nous cherchons donc à nous ramener, par proportionnalité, à 100 personnes. On se retrouve donc avec ce type d'égalité à trou :
\frac{18}{30} = \frac{?}{100}
On peut alors utiliser une technique dérivée de l'égalité des produits en croix qui fonctionne à tous les coups mais n'est pas toujours la manière la plus simple de faire :
? = \frac{18 \times 100}{30} = 60 \%
On peut aussi utiliser des méthodes liées aux fractions qui parfois ne sont pas du tout adaptées, mais parfois se révèlent très efficaces comme dans cet exemple :
? = \frac{18}{30} = \frac{6}{10} = \frac{60}{100} = 60 \%
Il est important d'évaluer l'ordre de grandeur à l'aide de pourcentages particuliers :
25 \% = \frac{1}{4} \quad 33 \% \cong \frac{1}{3} \quad 50 \% = \frac{1}{2} \quad 66 \% \cong \frac{2}{3} \quad 75 \% = \frac{3}{4}
Dans l'exemple précédent, 18 était légèrement supérieur à la moitié de 30 donc notre pourcentage est légèrement au-dessus de 50 % ce qui est le cas.
La plupart du temps on obtient un pourcentage inférieur à 100 car on étudie une sous-catégorie d'une catégorie donnée. Ici les enfants sont une sous-catégorie des personnes.
• Appliquer un pourcentage :
\text{Dans un groupe de 180 personnes il y a 35 \% d'enfants.} \newline \text{Quel est le nombre d'enfants ?}
Cette fois-ci nous ne cherchons pas un pourcentage mais un nombre d'enfants. Nous obtenons alors une égalité à trou similaire au cas précédent :
\frac{?}{180} = \frac{35}{100}
On peut alors utiliser une technique dérivée de l'égalité des produits en croix qui fonctionne à tous les coups mais n'est pas toujours la manière la plus simple de faire :
? = \frac{180 \times 35}{100} = 0,35 \times 180 = 63
On peut aussi utiliser des méthodes liées aux fractions qui parfois ne sont pas du tout adaptées, mais parfois se révèlent très efficaces comme dans cet exemple :
? = \frac{?}{180} = \frac{35}{100} = \frac{7}{20} = \frac{63}{180}
Il est important d'évaluer l'ordre de grandeur à l'aide des pourcentages particuliers :
Dans l'exemple précédent, 35 % était légèrement supérieur à un tiers donc le nombre d'enfants doit être légèrement supérieur au tiers de 180 donc de 60.
Il peut être intéressant de remarquer que sous forme décimale un pourcentage avec un décalage de deux crans de la virgule :
67\space \% = 0,67 \qquad 263\space \% = 2,63
• Augmentations et réductions :
\text{Le cours du bitcoin, 43 025 euros} \newline \text{a augmenté / \color{red}baissé\color{black} de 63 \%, quel est le nouveau cours ?}
En cinquième, quatrième, on traite ce genre de problème en calculant d'abord le montant de la hausse (ou de la baisse) puis on ajoute ou soustrait au montant de départ. Il y a une méthode plus rapide et plus intéressante que l'on voit en troisième :
43 \space 025 \times (1+\frac{63}{100}) = 43 \space 025 \times 1,63 = 70 \space 130,75
\color{red}43 \space 025 \times (1-\frac{63}{100}) = 43 \space 025 \times 0,37 = 15 \space 919,25
Cette technique devient essentiel lorsqu'on cherche le prix de départ à partir du prix final et du pourcentage de hausse (ou de baisse).
\text{Le cours du bitcoin a augmenté / \color{red}baissé\color{black} de 44 \%.} \newline \text{Son nouveau cours est 39 \space 778,2. Quel était l'ancien cours ?}
L'erreur classique consiste à appliquer une baisse (ou une hausse) de 44 % au montant final en espérant retrouver le montant de départ. Sauf que les 44 % s'appliquaient au montant de départ et donc on ne peut pas les appliquer au montant final. Il faut alors passer par la multiplication à trou :
? \times (1+\frac{44}{100}) = 39 \space 778,2
? = 39 \space 778,2 \div 1,44 = 27 \space 623,75
\color{red}? \times (1-\frac{44}{100}) = 39 \space 778,2
\color{red}? = 39 \space 778,2 \div 0,56 = 71 \space 032,5
On peut vérifier qu'avant la hausse le montant était inférieur 27 623,75 < 39 778,2 (ou qu'avant la baisse il était supérieur 71 032,5 > 39 778,2)
