GRANDEURS ET MESURES

Calculs de volumes

Choisir la bonne formule, utiliser des unités compatibles et présenter un résultat en unités cubes.

S’entraîner

À retenir

Un volume mesure l'espace occupé par un solide. Toutes les longueurs doivent être exprimées dans la même unité. Le résultat s'exprime en unités cubes : cm³, m³, etc.

Partie 1

Prismes droits et cylindres

Formule générale
\[\boxed{V=A_{\text{base}}\times h}\]
On multiplie l'aire d'une base par la hauteur du solide.

Prisme droit

hAbase
\(V=A_{\text{base}}\times h\)

Pavé droit et cube

Llh
Pavé : \(V=L\times l\times h\)
Cube : \(V=a^3\)

Cylindre

rh
\(A_{\text{base}}=\pi r^2\)
\(V=\pi r^2h\)
Exemple

Un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 5 cm a pour volume :

\[\begin{aligned}V&=\pi\times3^2\times5\\V&=45\pi\ \text{cm}^3\\V&\approx141{,}4\ \text{cm}^3\end{aligned}\]
Partie 2

Pyramides et cônes

Formule générale
\[\boxed{V=\frac{A_{\text{base}}\times h}{3}}\]
On prend le tiers du produit de l'aire de la base par la hauteur.

Pyramide

hAbase
\(V=\dfrac{A_{\text{base}}\times h}{3}\)

Cône

hr
\(A_{\text{base}}=\pi r^2\)
\(V=\dfrac{\pi r^2h}{3}\)
Exemple

Une pyramide a une base d'aire 24 cm² et une hauteur de 7 cm.

\[\begin{aligned}V&=\frac{24\times7}{3}\\V&=56\ \text{cm}^3\end{aligned}\]
Pour la 3e

Volume d'une boule

Boule

r
\(V=\dfrac{4}{3}\pi r^3\)
Exemple

Une boule de rayon 3 cm a pour volume :

\[\begin{aligned}V&=\frac{4}{3}\pi\times3^3\\V&=36\pi\ \text{cm}^3\\V&\approx113{,}1\ \text{cm}^3\end{aligned}\]
Attention

Erreurs classiques

Confondre rayon et diamètre

Les formules utilisent le rayon \(r\). Si le diamètre \(d\) est donné, il faut d'abord calculer :

\[r=\frac{d}{2}\]
Mélanger les unités

L'unité de la hauteur doit correspondre à celle utilisée pour l'aire de la base.

\[20\ \text{cm}^2\times0{,}4\ \text{m}\quad\text{est incorrect}\] \[20\ \text{cm}^2\times40\ \text{cm}=800\ \text{cm}^3\]
Oublier de diviser par 3

Le facteur \(\dfrac{1}{3}\) concerne les pyramides et les cônes, mais pas les prismes ni les cylindres.

Utiliser la mauvaise hauteur

La hauteur \(h\) est perpendiculaire à la base. Ce n'est pas une arête oblique du solide.

Arrondir trop tôt

Dans un calcul avec \(\pi\), on conserve la valeur exacte pendant les étapes et on arrondit seulement le résultat final.

Oublier l'unité cube

Une aire s'exprime en cm² ou m² ; un volume s'exprime en cm³ ou m³.

\[\text{cm}^2\times\text{cm}=\text{cm}^3\]
Méthode

Bien rédiger le calcul

  1. Identifier le solide et les données utiles.
  2. Convertir les longueurs pour obtenir des unités compatibles.
  3. Écrire la formule, puis remplacer les lettres par les valeurs.
  4. Conserver la valeur exacte avec \(\pi\), puis arrondir seulement à la fin si cela est demandé.
  5. Écrire l'unité de volume dans la réponse.