GRANDEURS ET MESURES

Vitesse, distance et durée

Choisir la bonne formule, rendre les unités compatibles et résoudre des trajets simples ou composés de plusieurs étapes.

S'entraîner

Définitions

La distance, notée d, mesure la longueur du trajet. Elle peut être exprimée en kilomètres ou en mètres.

La durée, notée t, mesure le temps nécessaire pour effectuer le trajet. Elle peut être exprimée en heures, minutes ou secondes.

La vitesse moyenne, notée v, indique la distance parcourue pendant une unité de temps. Par exemple, une vitesse de 80 km/h signifie que le véhicule parcourrait 80 km en une heure s'il conservait cette vitesse moyenne.

Attention : une vitesse moyenne ne signifie pas que le véhicule roule à cette vitesse à chaque instant. Elle relie seulement la distance totale parcourue à la durée totale du trajet.

Les trois formules

Calculer une distance \[ {\color{#2563eb} d} = {\color{#059669} v} \times {\color{#d97706} t} \]
Calculer une vitesse \[ {\color{#059669} v} = \frac{\color{#2563eb} d}{\color{#d97706} t} \]
Calculer une durée \[ {\color{#d97706} t} = \frac{\color{#2563eb} d}{\color{#059669} v} \]
Avant d'utiliser une formule, les unités doivent être compatibles. Avec une vitesse en km/h, on utilise des kilomètres et des heures. Avec une vitesse en m/s, on utilise des mètres et des secondes.

Conversions utiles

\[ 1\,\text{km}=1\,000\,\text{m} \] \[ 1\,\text{h}=60\,\text{min}=3\,600\,\text{s} \]

Pour convertir une vitesse :

\[ 1\,\text{m/s}=3{,}6\,\text{km/h} \] \[ \text{km/h vers m/s : on divise par }3{,}6 \] \[ \text{m/s vers km/h : on multiplie par }3{,}6 \]
Exemple : \[ 72\,\text{km/h}\div3{,}6=20\,\text{m/s} \]

Méthode détaillée

  1. Repérer la grandeur recherchée : distance, vitesse ou durée.
  2. Écrire la formule correspondante avant de remplacer les valeurs.
  3. Comparer les unités de distance, de vitesse et de temps.
  4. Effectuer les conversions nécessaires avant le calcul.
  5. Calculer en conservant des valeurs exactes.
  6. Ajouter l'unité demandée au résultat.
  7. Pour un trajet en plusieurs étapes, traiter les étapes dans l'ordre et conserver chaque résultat intermédiaire.
Niveau 1 — Calcul direct

Exemple 1 — Calculer une distance

Un véhicule roule à 70 km/h pendant 2,5 h. Quelle distance parcourt-il ?

\[ {\color{#2563eb}{d}} = {\color{#059669}{v}} \times {\color{#d97706}{t}} \] \[ d=70\times2{,}5=175 \] \[ \boxed{\color{#2563eb}175\,\text{km}} \]

Réponse : le véhicule parcourt 175 km.

Niveau 2 — Heures décimales

Exemple 2 — Calculer une durée décimale

Un véhicule parcourt 126 km à la vitesse moyenne de 60 km/h. Calculer la durée en heures.

\[ {\color{#d97706}{t}} = \frac{\color{#2563eb}{d}}{\color{#059669}{v}} \] \[ t=\frac{126}{60}=2{,}1 \] \[ \boxed{\color{#d97706}{2{,}1\,\text{h}}} \]

Réponse : le trajet dure 2,1 h.

Niveau 3 — Unités différentes

Exemple 3 — Convertir avant de calculer

Un véhicule roule à 72 km/h pendant 50 s. Calculer la distance parcourue en mètres.

La vitesse doit être exprimée en m/s :

\[ 72\,\text{km/h}\div3{,}6=20\,\text{m/s} \]

On applique ensuite la formule de la distance :

\[ d=20\times50=1\,000 \] \[ \boxed{\color{#2563eb}{1\,000\,\text{m}}} \]

Réponse : le véhicule parcourt 1 000 m.

Niveau 4 — Trajet en deux étapes

Exemple 4 — Retrouver la vitesse de la deuxième étape

14 h 10
Départ
Fin étape 1
à déterminer
16 h 54
Arrivée

On connaît :

  • première étape : 72 km à 80 km/h ;
  • deuxième étape : 110 km ;
  • départ à 14 h 10 et arrivée à 16 h 54.

1. Calculer la durée de la première étape

\[ t_1=\frac{72}{80}=0{,}9\,\text{h}=54\,\text{min} \]

2. Déterminer l'horaire intermédiaire

\[ 14\,\text{h}\,10+54\,\text{min}=15\,\text{h}\,04 \]

3. Calculer la durée de la deuxième étape

\[ 16\,\text{h}\,54-15\,\text{h}\,04 =1\,\text{h}\,50\,\text{min} \]
\[ 1\,\text{h}\,50\,\text{min}=110 \,\text{minutes} \]

4. Calculer la vitesse de la deuxième étape

\[ v_2=\frac{110}{110}=1 \, \text{km/min} \]

On multiplie par 60 pour retrouver une vitesse en km/h car il y a 60 minutes dans 1 heure.

\[ \boxed{\color{#059669}{60\,\text{km/h}}} \]

Réponse : la vitesse moyenne de la deuxième étape est 60 km/h.

Erreurs fréquentes

  • Multiplier alors que la grandeur recherchée nécessite une division.
  • Utiliser des kilomètres avec des mètres par seconde sans conversion.
  • Utiliser des minutes directement avec une vitesse en km/h.
  • Confondre 1,5 h avec 1 h 50 min : 0,5 h correspond à 30 min.
  • Oublier l'unité dans la réponse finale.
  • Dans un trajet en deux étapes, utiliser la durée totale comme durée d'une seule étape.
  • Calculer une moyenne simple des deux vitesses : la vitesse moyenne du trajet dépend aussi des durées ou des distances.

À retenir

Méthode
  1. Identifier la grandeur recherchée.
  2. Choisir parmi \(d=v\times t\), \(v=d\div t\) et \(t=d\div v\).
  3. Rendre les unités compatibles avant le calcul.
  4. Avec des km/h, utiliser des kilomètres et des heures.
  5. Avec des m/s, utiliser des mètres et des secondes.
  6. Dans un trajet en deux étapes, calculer les informations intermédiaires dans l'ordre.
  7. Toujours écrire l'unité du résultat.