Théorème de Thalès
Reconnaître une configuration de Thalès, écrire les bons rapports et calculer une longueur inconnue.
Comprendre le théorème
Le théorème de Thalès permet de calculer une longueur lorsque deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles.
Dans la configuration droite ci-dessous, les points A, D, B sont alignés, les points A, E, C sont alignés et (DE) est parallèle à (BC).
On peut alors écrire :
\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC} \]Méthode détaillée
- Vérifier l'alignement des points et le parallélisme des droites.
- Repérer les côtés correspondants des deux triangles.
- Écrire seulement les deux rapports utiles au calcul.
- Remplacer les longueurs connues par leurs valeurs.
- Appliquer les produits en croix.
- Donner la longueur avec son unité.
Exemple 1 — Configuration droite
On donne AD = 6 cm, AB = 10 cm et AC = 8 cm. On cherche AE.
\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \]On applique les produits en croix :
\[ \begin{aligned} AB \times AE &= AD \times AC \\ 10 \times AE &= 6 \times 8 \\ 10 \times AE &= 48 \\ AE &= 48 \div 10 \\ AE &= 4{,}8 \end{aligned} \]Réponse : AE = 4,8 cm.
Exemple 2 — Configuration croisée
Les points D, A, B sont alignés, les points E, A, C sont alignés et (DE) est parallèle à (BC).
On donne AD = 4,5 cm, AB = 7,5 cm et AC = 6 cm. On cherche AE.
\[ \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} \]On applique les produits en croix :
\[ \begin{aligned} AB \times AE &= AD \times AC \\ 7{,}5 \times AE &= 4{,}5 \times 6 \\ 7{,}5 \times AE &= 27 \\ AE &= 27 \div 7{,}5 \\ AE &= 3{,}6 \end{aligned} \]Réponse : AE = 3,6 cm.
Exemple 3 — Une longueur à reconstituer
On donne AB = 12 cm et DB = 4 cm. Comme D appartient au segment [AB], on calcule d'abord AD.
\[ \begin{aligned} AD &= AB - DB \\ AD &= 12 - 4 \\ AD &= 8 \end{aligned} \]On donne aussi DE = 6 cm et on cherche BC.
\[ \frac{AD}{AB} = \frac{DE}{BC} \]On applique les produits en croix :
\[ \begin{aligned} AD \times BC &= AB \times DE \\ 8 \times BC &= 12 \times 6 \\ 8 \times BC &= 72 \\ BC &= 72 \div 8 \\ BC &= 9 \end{aligned} \]Réponse : BC = 9 cm.
Exemple 4 — Trois parallèles et deux étapes
Les points D, A, B, F sont alignés, les points E, A, C, G sont alignés et les droites (DE), (BC) et (FG) sont parallèles.
La première application de Thalès permet de calculer une longueur du triangle ABC. Cette longueur est ensuite utilisée dans une deuxième application de Thalès avec le triangle AFG.
Il faut donc isoler clairement les deux configurations et rédiger séparément les deux applications du théorème.
Erreurs fréquentes
- Utiliser le théorème sans vérifier les alignements et les parallèles.
- Mélanger des côtés qui ne se correspondent pas.
- Utiliser DB ou EC directement alors que ce n'est pas un côté du triangle concerné.
- Oublier une soustraction nécessaire avant d'écrire les rapports.
- Isoler l'inconnue avec une mauvaise opération.
À retenir
- Vérifier les alignements et les parallèles.
- Repérer les deux triangles utilisés.
- Associer les côtés correspondants.
- Écrire les deux rapports utiles.
- Appliquer les produits en croix.
- Conclure avec la longueur et son unité.