SIMPLIFICATION DE FRACTIONS

Simplification de fractions

Fiche de cours pour comprendre les notions essentielles, les méthodes et les exemples associés.

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Introduction

Une fraction représente le quotient de deux entiers, c'est-à-dire le résultat d'une division.
Méthode \[ \frac{a}{b} \]
Le nombre du haut s'appelle le numérateur.
Le nombre du bas s'appelle le dénominateur.
Deux fractions peuvent représenter le même nombre sans s'écrire pareil.
Exemple \[ \frac12=\frac24=\frac36=\frac48 \]
On dit alors que ces fractions sont égales : elles représentent le même nombre.
Simplifier une fraction consiste à diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre.
Ce nombre doit être un diviseur commun non nul du numérateur et du dénominateur.
Propriété \[ \frac{a}{b}=\frac{a\div k}{b\div k} \qquad (b\neq0\text{ et }k\neq0) \]
Exemple :
Exemple \[ \frac{12}{18} \]
12 et 18 sont divisibles par 2.
Exemple \[ \frac{12}{18} = \frac{6}{9} \]
Puis par 3 :
Exemple \[ \frac69 = \frac23 \]
La fraction simplifiée est donc :
Exemple \[ \boxed{\frac23} \]
On peut également simplifier directement grâce au plus grand diviseur commun.
Exemple :
Exemple \[ \frac{28}{42} \]
Le PGCD de 28 et 42 vaut 14.
Exemple \[ \frac{28}{42} = \frac{28\div14}{42\div14} = \frac23 \]
Une fraction est irréductible lorsqu'on ne peut plus la simplifier.
Exemple \[ \frac23 \]
Méthode

Méthode

  1. Chercher un diviseur commun.
  2. Diviser le numérateur et le dénominateur.
  3. Recommencer jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de diviseur commun.
Méthode

Méthode avec le PGCD

Notion abordée en troisième. Pour simplifier rapidement une fraction, on peut calculer le Plus Grand Diviseur Commun (PGCD) du numérateur et du dénominateur.
Exemple :
Exemple \[ \frac{84}{126} \]
Le PGCD de 84 et 126 est :
Exemple \[ PGCD(84;126)=42 \]
On divise alors le numérateur et le dénominateur par 42 :
Exemple \[ \frac{84}{126} = \frac{84\div42}{126\div42} = \frac23 \]
La fraction simplifiée est donc :
Exemple \[ \boxed{\frac23} \]
Méthode

Méthode avec les décompositions en facteurs premiers

Notion vue en troisième et qui se rapproche de la méthode avec PGCD. On peut également décomposer le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers.
Exemple :
Exemple \[ \frac{84}{126} \]
Exemple \[ 84 = 2\times2\times3\times7 \]
Exemple \[ 126 = 2\times3\times3\times7 \]
On simplifie alors tous les facteurs communs :
Exemple \[ \frac{2\times2\times3\times7}{2\times3\times3\times7} =\frac{2}{3} \]
Exemple \[ \frac{84}{126}=\frac23 \]
Cette méthode est particulièrement utile lorsque les nombres sont grands. Au final, on a simplifié le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.

Erreurs fréquentes

  • Diviser uniquement le numérateur ou uniquement le dénominateur.
  • Utiliser un nombre qui ne divise pas exactement les deux termes.
  • S’arrêter alors que le numérateur et le dénominateur possèdent encore un diviseur commun > 1.
  • Simplifier numérateur et dénominateur par une addition ou une soustraction.
  • Confondre une fraction simplifiée avec une valeur décimale approchée.

À retenir

Une fraction est irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun autre que 1.
Propriétés équivalentes
  • Fraction irréductible
  • PGCD(numérateur,dénominateur)=1
  • Numérateur et dénominateur sont premiers entre eux