TRIANGLES RECTANGLES

Théorème de Pythagore

Fiche de cours pour comprendre les notions essentielles, les méthodes et les exemples associés.

Niveau / progression

Ce chapitre est vu pour la première fois en quatrième puis retravaillé en troisième. C’est un théorème de géométrie, mais qui fait principalement appel au calcul. Il y a deux utilisations possibles de ce théorème.

À retenir

Lorsque la racine carrée ne se simplifie pas il faudra utiliser soit le clavier mathématique, soit utiliser R(nombre) pour noter la valeur exacte. Ainsi, on pourra noter \(R(115)\) pour \( \sqrt{115} \).

Le théorème de Pythagore est un théorème fondamental de géométrie. Il permet, lorsqu’on connaît les longueurs des 3 côtés d’un triangle, de savoir s’il est rectangle ou non. Il permet aussi de calculer la longueur d’un côté, dans un triangle rectangle, à partir des longueurs des deux autres côtés.

Il est équivalent de dire qu’un triangle est rectangle ou que le carré du plus grand de ses côtés est égal à la somme des carrés des deux autres.

On appelle hypoténuse le plus grand côté d’un triangle rectangle.

Partie 1

Calculer une longueur dans un triangle rectangle

Exemple \[ \text{Dans } ABC \text{ rectangle en } B,\ AB = 4,2\ \text{m},\ AC = 7\ \text{m} \] \[ \text{Déterminer la valeur exacte de } BC \]

Rédaction

Exemple \[ \text{Dans le triangle } ABC \text{ rectangle en } \color{red}{B} \] \[ \text{D'après le théorème de Pythagore (sens direct)} \] \[ AB^2 + BC^2 = AC^2 \] \[ 4,2^2 + BC^2 = 7^2 \] \[ BC^2 = 49 - 17,64 \] \[ BC^2 = 31,36 \] \[ BC = \sqrt{31,36} \]

Partie 3

Prouver qu’un triangle est rectangle

Exemple \[ \text{Soit } OMG \text{ un triangle, } OM = 12\ \text{m},\ OG = 13\ \text{m},\ MG = 5\ \text{m} \] \[ \text{Déterminer si le triangle est rectangle} \]

Rédaction

Exemple \[ OG \text{ est le plus grand côté du triangle } O\color{red}{M}\color{black}{G} \] \[ OG^2 = 13^2 = \color{green}{169} \] \[ OM^2 + MG^2 = 12^2 + 5^2 = \color{green}{169} \] \[ OG^2 = OM^2 + MG^2 \] \[ \text{D'après le théorème de Pythagore (sens réciproque)} \] \[ \text{OMG est rectangle en } \color{red}{M} \]

Partie 5

Prouver qu’un triangle n’est pas rectangle

Exemple \[ \text{Soit } ZUT \text{ un triangle, } ZU = 8\ \text{m},\ ZT = 10\ \text{m},\ UT = 13\ \text{m} \] \[ \text{Déterminer si le triangle est rectangle} \]

Rédaction

Exemple \[ UT \text{ est le plus grand côté du triangle } \color{red}{Z}UT \] \[ UT^2 = 13^2 = \color{red}{169} \] \[ UZ^2 + ZT^2 = 10^2 + 8^2 = \color{red}{164} \] \[ UT^2 \neq UZ^2 + ZT^2 \] \[ \text{D'après le théorème de Pythagore (sens contraposée)} \] \[ \text{ZUT n'est pas un triangle rectangle} \]

Les exercices portent uniquement sur des calculs de longueurs. La difficulté pour vérifier qu’un triangle est rectangle ou non provient surtout de la rédaction. En mode facile, les longueurs sont des nombres entiers. En mode normal, ce sont des nombres décimaux. Dans ces deux cas elles se simplifient bien. En mode difficile et expert, il faut utiliser le symbole racine carrée

La hauteur d’un triangle le partage en deux triangles rectangles, ce qui permet d’appliquer le théorème de Pythagore dans deux triangles.