PUISSANCES
S’entraîner
Calculer avec des puissances de 10
Lire un exposant et calculer efficacement avec les puissances de 10.
L’idée essentielle
Une puissance de 10 permet d’écrire simplement 10, 100, 1 000, mais aussi 0,1 ; 0,01 ; 0,001.
\[10^0=1\]
Partie 1
Exposant positif
Pour \(n>0\), \(10^n\) est le produit de \(n\) facteurs égaux à 10.
Exemples
\[10^1=10\qquad 10^2=100\qquad 10^3=1\,000\]
Multiplier par \(10^n\) fait prendre à chaque chiffre un rang \(n\) fois supérieur.
Diviser par \(10^n\) lui fait prendre un rang \(n\) fois inférieur.
Exemples
\[37{,}856\times10^4=378\,560\qquad 37{,}8\div10^4=0{,}00378\]
Partie 2
Exposant négatif
Une puissance d’exposant négatif est l’inverse de la puissance d’exposant opposé.
\[10^{-n}=\frac{1}{10^n}\quad(n>0)\]
Exemples
\[10^{-1}=0{,}1\qquad10^{-2}=0{,}01\qquad10^{-3}=0{,}001\]
Multiplier par \(10^{-n}\) revient à diviser par \(10^n\). Diviser par \(10^{-n}\) revient à multiplier par \(10^n\).
Partie 3
Choisir la bonne opération
\[
\begin{array}{c|c}
\text{Calcul} & \text{Calcul équivalent}\\ \hline
a\times10^n & \text{multiplier par }10^n\\
a\div10^n & \text{diviser par }10^n\\
a\times10^{-n} & a\div10^n\\
a\div10^{-n} & a\times10^n
\end{array}
\]
Erreurs fréquentes
- Confondre \(10^{-3}\) et \(-10^3\) : \(10^{-3}=0{,}001\), tandis que \(-10^3=-1\,000\).
- Écrire \(10^0=0\), alors que \(10^0=1\).
- Oublier qu’une division par \(10^{-n}\) équivaut à une multiplication par \(10^n\).
À retenir
Le signe « − » de l’exposant signifie « prendre l’inverse » ; il ne rend pas la puissance négative.
\[10^0=1\qquad10^{-n}=\frac1{10^n}\]