Résoudre des problèmes avec des fractions

Comprendre une fraction d’une quantité

Calculer \(\frac{a}{b}\) d’une quantité revient à partager cette quantité en \(b\) parts égales, puis à prendre \(a\) de ces parts.

Pour calculer \(\frac{a}{b}\) d’une quantité \(Q\), on peut écrire :

\[ Q \times \frac{a}{b} = \frac{a}{b} \times Q = a \times \left(Q \div b \right) \]

Exemple : \(\frac{3}{5}\) de 80.

\[ \begin{aligned} \frac{3}{5} \times 80&= 3 \times \left(80 \div 5 \right) \\ \frac{3}{5} \times 80&= 3 \times 16 \\ \frac{3}{5} \times 80&= 48 \end{aligned} \]

Dans un problème, le calcul n’est généralement pas le plus difficile. Il faut surtout repérer la quantité sur laquelle porte la fraction.

Repérer la quantité de référence

Compare les deux phrases suivantes :

Emma lit \(\frac{2}{5}\) du livre.
Emma lit \(\frac{2}{5}\) des pages restantes.

Dans la première phrase, la fraction porte sur le nombre total de pages. Dans la seconde, elle porte seulement sur ce qu’il reste après une première lecture.

Attention : lorsqu’un énoncé dit « une fraction du reste », il ne faut pas reprendre la quantité initiale.

Méthode détaillée

Lire la question finale. Elle indique la quantité qu’il faudra obtenir à la fin.
Repérer les quantités connues et les fractions présentes dans l’énoncé.
Pour chaque fraction, identifier précisément sa quantité de référence : le total, une première catégorie ou une quantité restante.
Écrire les calculs dans l’ordre logique. Un résultat intermédiaire peut devenir la quantité de référence du calcul suivant.
Vérifier que la réponse est cohérente : une partie d’un tout doit être plus petite que ce tout, et une quantité restante ne peut pas être négative.
Rédiger une phrase de conclusion avec l’unité demandée.

Exemple 1 — Calculer directement une fraction d’une quantité

Une collection contient 72 cartes. Les \(\frac{5}{8}\) de ces cartes appartiennent à une série spéciale.

Combien de cartes appartiennent à cette série ?

La fraction porte sur les 72 cartes de la collection.

\[ \begin{aligned} \frac{5}{8} \times 72 &= 5 \times \left(72 \div 8\right) \\ \frac{5}{8} \times 72 &= 5 \times 9 \\ \frac{5}{8} \times 72 &= 45 \end{aligned} \]

Réponse : 45 cartes appartiennent à cette série.

Exemple 2 — Calculer ce qu’il reste

Un livre contient 150 pages. Lina a déjà lu \(\frac{3}{5}\) du livre.

Combien de pages lui reste-t-il à lire ?

On commence par calculer le nombre de pages déjà lues.

\[ \begin{aligned} \frac{3}{5} \times 150 &= 3 \times \left(150 \div 5\right) \\ \frac{3}{5} \times 150 &= 3 \times 30 \\ \frac{3}{5} \times 150 &= 90 \end{aligned} \]

On retire ensuite ces pages du nombre total de pages.

\[ 150 - 90 = 60 \]

Réponse : il reste 60 pages à lire.

Exemple 3 — Calculer une fraction d’une quantité restante

Un réservoir contient 240 litres d’eau. On utilise d’abord \(\frac{3}{8}\) de son contenu, puis \(\frac{2}{5}\) de l’eau restante.

Combien de litres sont utilisés lors de la seconde opération ?

Première étape : on calcule le volume utilisé d’abord.

\[ \begin{aligned} \frac{3}{8} \times 240 &= 3 \times \left(240 \div 8\right) \\ \frac{3}{8} \times 240 &= 3 \times 30 \\ \frac{3}{8} \times 240 &= 90 \end{aligned} \]

Deuxième étape : on calcule le volume restant.

\[ 240 - 90 = 150 \]

Troisième étape : la fraction \(\frac{2}{5}\) porte maintenant sur 150 litres, et non sur 240 litres.

\[ \begin{aligned} \frac{2}{5} \times 150 &= 2 \times \left(150 \div 5\right) \\ \frac{2}{5} \times 150 &= 2 \times 30 \\ \frac{2}{5} \times 150 &= 60 \end{aligned} \]

Réponse : 60 litres sont utilisés lors de la seconde opération.

Exemple 4 — Deux fractions du même total

Une salle possède 240 places. Les \(\frac{3}{8}\) sont réservées par des abonnés et les \(\frac{1}{4}\) par des groupes scolaires.

Combien de places restent disponibles ?

Ici, les deux fractions portent sur le même total : 240 places.

\[ \begin{aligned} \frac{3}{8} \times 240 &= 3 \times \left(240 \div 8\right) \\ \frac{3}{8} \times 240 &= 3 \times 30 \\ \frac{3}{8} \times 240 &= 90 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \frac{1}{4} \times 240 &= 1 \times \left(240 \div 4\right) \\ \frac{1}{4} \times 240 &= 1 \times 60 \\ \frac{1}{4} \times 240 &= 60 \end{aligned} \] \[ 240 - 90 - 60 = 90 \]

Réponse : 90 places restent disponibles.

Exemple 5 — Retrouver la quantité initiale

Les \(\frac{3}{7}\) d’une quantité \(Q\) valent 36.

Quelle est la quantité \(Q\) ?

On sait que 3 parts sur 7 valent 36. Pour retrouver \(Q\), on commence par chercher la valeur d’ une seule part.

Les 3 carreaux colorés représentent \(\frac{3}{7}\) de \(Q\), soit 36.
Donc 1 carreau représente \(\frac{1}{7}\) de \(Q\).

On partage 36 en 3 parts égales pour trouver \(\frac{1}{7}\) de \(Q\).

\[ \begin{aligned} \frac{1}{7} \times Q &= 36 \div 3 \\ \frac{1}{7} \times Q &= 12 \end{aligned} \]

Comme \(\frac{1}{7}\) de \(Q\) vaut 12, on multiplie par 7 pour retrouver la totalité.

\[ \begin{aligned} Q &= 12 \times 7 \\ Q &= 84 \end{aligned} \]

Réponse : la quantité \(Q\) vaut 84.

Erreurs fréquentes

Ne pas repérer la bonne quantité de référence.
Avant de calculer, il faut toujours se demander : « la fraction de quoi ? »
Appliquer une fraction du reste à la quantité de départ.
Quand l’énoncé parle d’un reste, la nouvelle fraction porte sur ce reste, et non sur la quantité initiale.
Confondre la partie prise et la partie restante.
Si on prend \(\frac{3}{5}\) d’une quantité, il ne reste pas \(\frac{3}{5}\), mais \(1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}\).
Ajouter des fractions qui ne portent pas sur la même quantité.
On ne peut additionner directement deux fractions que si elles concernent la même quantité de référence.
Dans un problème inverse, vouloir aller trop vite.
Il faut d’abord chercher la valeur d’une part, puis reconstituer la quantité totale.
Oublier de vérifier la cohérence du résultat.
Une partie d’un tout doit être plus petite que le tout, et un reste ne peut pas être négatif.

À retenir

Méthode

Repérer la quantité de référence : \(\frac{a}{b}\) de quoi ?
Traduire « \(\frac{a}{b}\) d’une quantité \(Q\) » par \(\frac{a}{b}\times Q\).
Effectuer les calculs dans l’ordre : un résultat intermédiaire peut devenir la quantité de référence suivante.
Pour calculer un reste, soustraire la partie utilisée à la quantité disponible.
Pour une fraction du reste, utiliser le reste comme nouvelle quantité de référence.
Dans un problème inverse, chercher d’abord la valeur d’une part, puis reconstituer la quantité totale.

\[ \frac{a}{b} \times Q = a \times \left(Q \div b\right) \] \[ \text{Reste} = \text{quantité disponible} - \text{partie utilisée} \] \[ \text{Fraction restante} = 1 - \frac{a}{b} = \frac{b-a}{b} \] \[ \text{Si } \frac{a}{b}\text{ de }Q = R, \text{ on cherche d’abord la valeur d’une part : } \frac{1}{b}\text{ de }Q = R \div a \] \[ \text{Puis on reconstitue la quantité totale : } Q = \left(\frac{1}{b}\text{ de }Q\right)\times b \]