Résoudre un problème à l’aide d’une équation
Traduire une situation, résoudre l’équation obtenue puis interpréter la solution.
Les connaissances nécessaires
Pour résoudre ce type de problème, il faut savoir :
La difficulté principale consiste souvent à construire la bonne équation. Une fois celle-ci obtenue, il reste à la résoudre puis à vérifier que la réponse est cohérente avec l’énoncé.
Les cinq étapes à suivre
- Choisir l’inconnue et écrire précisément ce que représente x.
- Traduire chaque information par une expression littérale.
- Repérer l’égalité donnée par l’énoncé et écrire l’équation.
- Résoudre l’équation en effectuant les mêmes opérations dans les deux membres.
- Vérifier la valeur obtenue, puis répondre par une phrase avec l’unité adaptée.
Un prix inconnu et des frais fixes
Une commande contient 5 articles identiques et 7 € de frais de livraison. Elle coûte 52 € au total.
Quel est le prix d’un article ?
Choix de l’inconnue : on note x le prix, en euros, d’un article.
Modélisation : les 5 articles coûtent \(5x\) euros. Avec les frais de livraison, le prix total est \(5x+7\).
Peut-on faire sans équation ? Oui. À ce niveau, on peut raisonner à l’envers en considérant le calcul comme une suite d’opérations à trous.
Vérification :
Conclusion : un article coûte 9 €.
Des opérations successives
Un programme ajoute 4 au nombre choisi, multiplie le résultat par 3, puis ajoute 5. Le résultat final est 50.
Quel était le nombre de départ ?
Choix de l’inconnue : on note x le nombre de départ.
Modélisation : après l’ajout de 4, on obtient \(x+4\). La multiplication porte sur tout ce résultat, d’où \(3(x+4)\), puis on ajoute 5.
Peut-on faire sans équation ? Oui. On peut inverser le programme de calcul en partant du résultat final et en effectuant les opérations contraires dans l’ordre inverse.
Vérification :
Conclusion : le nombre de départ était 11.
Comparer les aires de deux figures
La figure A est obtenue à partir d’un rectangle de longueur 7 cm et de largeur inconnue, auquel on retire une pièce d’aire 10 cm². La figure B est composée d’un rectangle de longueur 4 cm et de même largeur, auquel on ajoute une pièce d’aire 20 cm².
Pour quelle largeur les deux figures ont-elles la même aire ?
Choix de l’inconnue : on note x la largeur commune, en centimètres.
Modélisation : l’aire de A est \(7x-10\) et celle de B est \(4x+20\). Elles doivent être égales.
Vérification : l’aire du rectangle A vaut 70 cm² : la pièce de 10 cm² peut donc bien y être retirée.
Conclusion : la largeur commune mesure 10 cm.
Comparer les dépenses de deux groupes
Un premier groupe de 4 personnes prend le même menu avec un supplément de 2 € par menu et commande 8 € de boissons. Un second groupe de 5 personnes prend le même menu avec une réduction de 1 € par menu et commande 9 € de boissons.
Quel est le prix d’un menu sachant que les deux groupes ont payé la même somme ?
Choix de l’inconnue : on note x le prix, en euros, d’un menu avant supplément ou réduction.
Modélisation : le premier groupe paie \(4(x+2)+8\) et le second \(5(x-1)+9\). Les deux sommes sont égales.
Vérification : les deux groupes paient bien la même somme.
Conclusion : le prix du menu avant supplément ou réduction est de 12 €.
Erreurs fréquentes
- Choisir x sans préciser la grandeur et l’unité qu’il représente.
- Oublier les parenthèses lorsqu’une opération porte sur une somme entière.
- Additionner l’aire d’une pièce retirée ou soustraire celle d’une pièce ajoutée.
- Modifier un seul membre de l’équation.
- Donner x sans vérifier que sa valeur est possible dans le contexte.
À retenir
- Une équation traduit l’égalité entre deux expressions décrivant une même grandeur.
- Le choix et la définition de l’inconnue précèdent toujours les calculs.
- La résolution algébrique doit être suivie d’une vérification dans la situation initiale.
- La réponse finale doit être formulée avec son unité et répondre précisément à la question.