PROBABILITÉS

Probabilités

Fiche de cours pour comprendre les notions essentielles, les méthodes et les exemples associés.

S’entraîner

À retenir

Les probabilités permettent de mesurer les chances qu'un événement se produise.
Exemple : lorsqu'on lance un dé équilibré, toutes les faces ont la même chance d'apparaître.
Chaque résultat possible s'appelle une issue.
Exemple \[ \text{Issues possibles : } 1,\;2,\;3,\;4,\;5,\;6 \]
Un événement est un ensemble d'issues.
Exemple :
Méthode \[ \text{Obtenir un nombre pair} \]
Les issues favorables sont :
Exemple \[ 2,\;4,\;6 \]
On dit qu'il y a :
Exemple \[ 3 \text{ issues favorables} \]
Dans une situation d'équiprobabilité, toutes les issues ont la même probabilité. On peut alors utiliser :
Méthode \[ \boxed{ P(A)= \frac{\text{nombre d'issues favorables}} {\text{nombre d'issues possibles}} } \]
Exemple avec l'événement :
Méthode \[ A = \text{« obtenir un nombre pair »} \]
Exemple \[ P(A)=\frac{3}{6} \]
Exemple \[ P(A)=\frac{1}{2} \]
La probabilité est donc :
Exemple \[ \boxed{P(A)=\frac12} \]
Remarque : une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
Exemple \[ 0 \le P(A) \le 1 \]
Si un événement est impossible :
Exemple \[ P(A)=0 \]
Exemple :
Exemple \[ \text{Obtenir }7\text{ avec un dé à six faces} \]
Si un événement est certain :
Exemple \[ P(A)=1 \]
Exemple :
Exemple \[ \text{Obtenir un nombre inférieur à }7 \]
Toutes les issues sont favorables.
Exemple \[ P(A)=\frac{6}{6}=1 \]
Exemple

Exemple avec un jeu de 32 cartes

Un jeu de 32 cartes contient :
Exemple \[ 32 \text{ cartes} \]
On cherche la probabilité d'obtenir un as.
Il y a :
Exemple \[ 4 \text{ as} \]
Exemple \[ P(\text{obtenir un as}) = \frac{4}{32} \]
Exemple \[ P(\text{obtenir un as}) = \frac18 \]
Exemple

Exemple avec des billes

Un sac contient :
Exemple \[ 5 \text{ billes rouges} \qquad 3 \text{ billes bleues} \]
Nombre total de billes :
Exemple \[ 5+3=8 \]
Probabilité d'obtenir une bille rouge :
Exemple \[ P(\text{rouge}) = \frac{5}{8} \]
Partie 3

Expériences successives

On lance deux fois un dé.
Chaque lancer possède 6 issues possibles.
Exemple \[ 6\times6=36 \]
Il y a donc :
Exemple \[ 36 \text{ issues possibles} \]
Quelle est la probabilité d'obtenir :
Exemple \[ (3;5) \]
Une seule issue convient.
Exemple \[ P(A)=\frac{1}{36} \]
Partie 4

Tirage avec remise

Lorsqu'on remet l'objet tiré avant le deuxième tirage, la composition du sac ne change pas.
Exemple :
Exemple \[ \frac{3}{10} \times \frac{3}{10} = \frac{9}{100} \]
Partie 5

Tirage sans remise

Lorsqu'on ne remet pas la première bille, le nombre total d'objets diminue.
Exemple :
Exemple \[ \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac1{15} \]
Exemple

Exemple avec un arbre de probabilités

On dispose d'un sac contenant 3 jetons rouges et 2 jetons bleus. On tire successivement 2 jetons sans remise.
On a alors l'arbre de probabilités suivant :
Arbre de probabilités
On veut calculer la probabilité d'obtenir deux fois la couleur rouge, c'est-à-dire l'événement rr :
Pour calculer la probabilité d'un chemin dans un arbre, on multiplie les probabilités inscrites sur les branches.
Méthode \[ P(rr)=P(r)\times P_r(r) \]
Exemple \[ P(rr)=\frac{3}{5}\times\frac{1}{2} \]
Exemple \[ P(rr)=\frac{3}{10} \]
La probabilité d'obtenir deux rouges est donc :
Exemple \[ \boxed{\frac{3}{10}} \]
On peut aussi calculer la probabilité d'obtenir deux couleurs différentes.
Il y a deux chemins possibles :
Méthode \[ rb \quad \text{ou} \quad br \]
Exemple \[ P(rb)=\frac{3}{5}\times\frac{1}{2} = \frac{3}{10} \]
Exemple \[ P(br)=\frac{2}{5}\times\frac{3}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \]
Comme les deux chemins correspondent à des événements incompatibles, on additionne leurs probabilités :
Exemple \[ P(\text{deux couleurs différentes}) = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
Méthode

Méthode à retenir

  1. Identifier toutes les issues possibles.
  2. Compter les issues favorables.
  3. Écrire la fraction :
Méthode \[ \frac{\text{favorables}} {\text{possibles}} \]
  1. Simplifier la fraction si possible.
  2. Vérifier que le résultat est compris entre 0 et 1.
Dans les exercices, la réponse devra généralement être donnée sous forme de fraction simplifiée.