Pourcentages : augmentation / réduction

Comprendre une augmentation ou une réduction

Une augmentation ajoute à la quantité initiale une partie de cette quantité. Une réduction retire cette partie. Le pourcentage s’applique toujours à la quantité de départ.

Montant de la variation \[ V = Q_i \times \dfrac{t}{100} \]

Pour une augmentation, on calcule \(Q_f=Q_i+V\). Pour une réduction, on calcule \(Q_f=Q_i-V\).

Méthode détaillée — appliquer une variation

Repérer la quantité de départ \(Q_i\) et le taux \(t\).
Calculer le montant de l’augmentation ou de la réduction.
Ajouter ce montant pour une augmentation, ou le soustraire pour une réduction.
Vérifier l’ordre de grandeur du résultat.

Exemple 1 — appliquer une augmentation

Une quantité de 240 augmente de 15 %.

On calcule d’abord le montant de l’augmentation :

\[ \begin{aligned} V &= 240 \times \dfrac{15}{100} \\ V &= 36 \end{aligned} \]

On ajoute ensuite ce montant à la quantité de départ :

\[ \begin{aligned} Q_f &= 240 + 36 \\ Q_f &= 276 \end{aligned} \]

Réponse : la quantité finale est 276.

Exemple 2 — appliquer une réduction

Une quantité de 85 diminue de 18 %.

On calcule d’abord le montant de la réduction :

\[ \begin{aligned} V &= 85 \times \dfrac{18}{100} \\ V &= 15{,}3 \end{aligned} \]

On soustrait ensuite ce montant à la quantité de départ :

\[ \begin{aligned} Q_f &= 85 - 15{,}3 \\ Q_f &= 69{,}7 \end{aligned} \]

Réponse : la quantité finale est 69,7.

Méthode détaillée — déterminer le pourcentage de variation

Lorsque les quantités de départ et d’arrivée sont connues, on calcule le taux d’évolution :

Taux d’évolution \[ T = \dfrac{Q_f}{Q_i}\times 100\,\% - 100\,\% \]

Si \(T\) est positif, il s’agit d’une augmentation.
Si \(T\) est négatif, il s’agit d’une réduction.
Le pourcentage demandé est la valeur absolue de \(T\).

Exemple 3 — déterminer un pourcentage de réduction

Une quantité passe de 160 à 124.

\[ \begin{aligned} T &= \dfrac{124}{160}\times 100\,\% - 100\,\% \\ T &= 77{,}5\,\% - 100\,\% \\ T &= -22{,}5\,\% \end{aligned} \]

Le résultat est négatif : il s’agit d’une réduction. Sa valeur absolue est 22,5 %.

Réponse : la réduction est de 22,5 %.

Méthode détaillée — retrouver la quantité de départ

On commence par écrire le coefficient multiplicateur associé au taux.

Coefficients multiplicateurs \[ \begin{aligned} c_{\text{augmentation}} &= 1+\dfrac{t}{100} \\ c_{\text{réduction}} &= 1-\dfrac{t}{100} \end{aligned} \]

Comme \(Q_f=Q_i\times c\), on retrouve la quantité initiale avec :

\[ Q_i = Q_f \div c \]

Exemple 4 — retrouver la quantité avant une augmentation

Après une augmentation de 35 %, une quantité vaut 270.

\[ \begin{aligned} c &= 1+\dfrac{35}{100} \\ c &= 1{,}35 \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} Q_i \times 1{,}35 &= 270 \\ Q_i &= 270 \div 1{,}35 \\ Q_i &= 200 \end{aligned} \]

Réponse : la quantité de départ était 200.

Erreurs fréquentes

Calculer le pourcentage de la quantité finale au lieu de la quantité initiale.
Ajouter le montant d’une réduction au lieu de le soustraire.
Oublier que le signe du taux indique le sens de l’évolution.
Donner \(-22{,}5\,\%\) quand la consigne demande le pourcentage de réduction en valeur absolue.
Appliquer le pourcentage à la quantité finale pour tenter de retrouver la quantité de départ.
Utiliser \(1+t\) au lieu de \(1+\frac{t}{100}\) dans un coefficient multiplicateur.

À retenir

Méthodes

Appliquer une variation : \(V=Q_i\times\frac{t}{100}\), puis \(Q_f=Q_i+V\) ou \(Q_f=Q_i-V\).
Déterminer un taux : \[ T=\dfrac{Q_f}{Q_i}\times100\,\%-100\,\% \] puis prendre sa valeur absolue et préciser augmentation ou réduction.
Retrouver la quantité de départ : \[ Q_i=Q_f\div\left(1\pm\dfrac{t}{100}\right) \]