Position des chiffres et écritures décimales

À retenir

Dans un nombre, la valeur d’un chiffre dépend de sa position. La virgule sépare la partie entière, située à gauche, de la partie décimale, située à droite.

Exemple \[ 4\,007{,}529 \]

Dans ce nombre, le chiffre des milliers est 4, le chiffre des unités est 7, le chiffre des dixièmes est 5, celui des centièmes est 2 et celui des millièmes est 9.

milliers	centaines	dizaines	unités	dixièmes	centièmes	millièmes
4	0	0	7	5	2	9

Le chiffre 0 est important : il permet de conserver la bonne position des autres chiffres. Dans \(4\,007{,}529\), les deux zéros indiquent qu’il n’y a ni centaine ni dizaine.

Mode facile

Repérer un chiffre jusqu’aux millions et aux millionièmes

On commence toujours par repérer la virgule. Le chiffre juste à gauche de la virgule est celui des unités. Le chiffre juste à droite est celui des dixièmes.

À gauche de la virgule \[ \text{millions}\;|\;\text{centaines de milliers}\;|\;\text{dizaines de milliers} \;|\;\text{milliers}\;|\;\text{centaines}\;|\;\text{dizaines}\;|\;\text{unités} \]

À droite de la virgule \[ \text{dixièmes}\;|\;\text{centièmes}\;|\;\text{millièmes} \;|\;\text{dix-millièmes}\;|\;\text{cent-millièmes}\;|\;\text{millionièmes} \]

Exemple : dans \(0{,}123\,456\), le chiffre des unités est 0, le chiffre des dixièmes est 1 et le chiffre des millionièmes est 6.

Mode moyen

Aller jusqu’aux milliards et aux milliardièmes

Le principe reste exactement le même, mais le nombre comporte davantage de positions. On prolonge le tableau vers la gauche pour les grands nombres et vers la droite pour les très petites valeurs décimales.

milliards	centaines de millions	dizaines de millions	millions	centaines de milliers	dizaines de milliers	milliers	centaines	dizaines	unités
9	8	7	6	5	4	3	2	1	0

dixièmes	centièmes	millièmes	dix-millièmes	cent-millièmes	millionièmes	dix-millionièmes	cent-millionièmes	milliardièmes
1	2	3	4	5	6	7	8	9

Dans \(0{,}123\,456\,789\), le chiffre des millionièmes est 6, celui des dix-millionièmes est 7, celui des cent-millionièmes est 8 et celui des milliardièmes est 9.

Mode difficile

Écrire un nombre à partir de plusieurs positions

Lorsque les informations sont données dans le désordre, il faut d’abord les ranger de la plus grande position à la plus petite. Les positions absentes sont complétées par 0.

Exemple

5 dixièmes, 7 unités, 4 milliers et 2 centièmes.

On range les chiffres dans le tableau :

milliers	centaines	dizaines	unités	dixièmes	centièmes	millièmes
4	0	0	7	5	2	0

Calcul \[ 4\times1\,000+7\times1+5\times0{,}1+2\times0{,}01 =4\,007{,}52 \]

Mode expert

Gérer les quantités supérieures à 9

Une position ne peut contenir qu’un seul chiffre. Dès qu’une quantité atteint 10, on échange 10 unités de cette position contre 1 unité de la position immédiatement supérieure.

Échanges à connaître \[ \begin{aligned} 10\ \text{millièmes} &= 1\ \text{centième}\\ 10\ \text{centièmes} &= 1\ \text{dixième}\\ 10\ \text{dixièmes} &= 1\ \text{unité}\\ 10\ \text{unités} &= 1\ \text{dizaine} \end{aligned} \]

Exemple

17 dixièmes, 41 unités, 23 centièmes et 2 milliers.

On transforme les quantités supérieures à 9 :

Retenues \[ \begin{aligned} 17\ \text{dixièmes} &= 1\ \text{unité}+7\ \text{dixièmes}\\ 41\ \text{unités} &= 4\ \text{dizaines}+1\ \text{unité}\\ 23\ \text{centièmes} &= 2\ \text{dixièmes}+3\ \text{centièmes} \end{aligned} \]

Calcul exact \[ 2\,000+41+1{,}7+0{,}23=2\,042{,}93 \]

Le nombre recherché est donc \(\boxed{2\,042{,}93}\).

Méthode

La méthode à retenir

Repérer d’abord la virgule.
Le chiffre juste à gauche de la virgule est celui des unités.
Le chiffre juste à droite de la virgule est celui des dixièmes.
Chaque déplacement d’une colonne vers la gauche multiplie la valeur par 10.
Chaque déplacement d’une colonne vers la droite divise la valeur par 10.
Une position absente doit être complétée par 0.
10 unités d’une position donnent 1 unité de la position immédiatement supérieure.