Déterminer une médiane
Apprendre à trouver la valeur centrale d'une série ordonnée, avec ou sans tableau d'effectifs.
Comprendre la médiane
La médiane d'une série est la valeur centrale lorsque toutes les valeurs sont rangées dans l'ordre croissant.
Elle partage la série en deux groupes : au moins la moitié des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane et au moins la moitié sont supérieures ou égales à la médiane.
Il faut donc toujours commencer par ranger les valeurs dans l'ordre croissant.
Effectif impair ou effectif pair
Cas 1 — L'effectif total est impair
Il existe une seule position centrale. Si la série contient \(N\) valeurs, cette position est :
\[ p = \dfrac{N+1}{2} \]La médiane est directement la valeur située à cette position.
Cas 2 — L'effectif total est pair
Il existe deux positions centrales :
\[ p_1 = \dfrac{N}{2} \qquad\text{et}\qquad p_2 = \dfrac{N}{2}+1 \]La médiane est la moyenne des deux valeurs situées à ces positions.
\[ M_e = \dfrac{\text{première valeur centrale} + \text{deuxième valeur centrale}}{2} \]Méthode détaillée
- Ranger les valeurs dans l'ordre croissant.
- Déterminer l'effectif total \(N\).
- Repérer si \(N\) est impair ou pair.
- Si \(N\) est impair, chercher la valeur située à la position \(\dfrac{N+1}{2}\).
- Si \(N\) est pair, chercher les valeurs situées aux positions \(\dfrac{N}{2}\) et \(\dfrac{N}{2}+1\), puis calculer leur moyenne.
Exemple 1 — Liste avec un effectif impair
Déterminons la médiane de la série :
14 ; 7 ; 11 ; 4 ; 9
On range les valeurs dans l'ordre croissant :
4 ; 7 ; 9 ; 11 ; 14
La série contient \(N=5\) valeurs. L'effectif est impair :
\[ \begin{aligned} p &= \dfrac{N+1}{2} \\ p &= \dfrac{5+1}{2} \\ p &= 3 \end{aligned} \]La 3e valeur est 9.
Réponse : la médiane est 9.
Exemple 2 — Liste avec un effectif pair
Déterminons la médiane de la série :
12,4 ; 7 ; 9,2 ; 5,8 ; 10 ; 6,6
On range les valeurs dans l'ordre croissant :
5,8 ; 6,6 ; 7 ; 9,2 ; 10 ; 12,4
La série contient \(N=6\) valeurs. L'effectif est pair :
\[ \begin{aligned} p_1 &= \dfrac{N}{2} = \dfrac{6}{2} = 3 \\ p_2 &= \dfrac{N}{2}+1 = 4 \end{aligned} \]Les deux valeurs centrales sont 7 et 9,2.
\[ \begin{aligned} M_e &= \dfrac{7+9{,}2}{2} \\ M_e &= 8{,}1 \end{aligned} \]Réponse : la médiane est 8,1.
Comprendre les effectifs cumulés croissants
Dans un tableau, une valeur peut apparaître plusieurs fois. Il serait possible d'écrire toutes les valeurs les unes à la suite des autres, mais cela peut devenir très long.
Les effectifs cumulés croissants indiquent combien de valeurs ont été comptées depuis la plus petite valeur jusqu'à la colonne considérée.
On additionne progressivement les effectifs de gauche à droite :
\[ ECC_1=e_1, \qquad ECC_2=e_1+e_2, \qquad ECC_3=e_1+e_2+e_3, \quad \ldots \]Ils permettent de repérer directement dans quelle colonne se trouve une position donnée.
Exemple 3 — Tableau avec un effectif total impair
On considère la série statistique ordonnée suivante :
| Valeurs | 4 | 7 | 10 | 13 | 16 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectifs | 2 | 4 | 5 | 3 | 1 |
| Effectifs cumulés croissants | 2 | 6 | 11 | 14 | 15 |
L'effectif total est :
\[ \begin{aligned} N &= 2+4+5+3+1 \\ N &= 15 \end{aligned} \]L'effectif est impair. La position centrale est :
\[ \begin{aligned} p &= \dfrac{N+1}{2} \\ p &= \dfrac{15+1}{2} \\ p &= 8 \end{aligned} \]Le premier effectif cumulé supérieur ou égal à 8 est 11. Il correspond à la valeur 10.
Réponse : la médiane est 10.
Exemple 4 — Tableau avec un effectif total pair
On considère la série statistique ordonnée suivante :
| Valeurs | 3 | 6 | 9 | 14 | 18 | 21 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectifs | 2 | 3 | 4 | 5 | 3 | 1 |
| Effectifs cumulés croissants | 2 | 5 | 9 | 14 | 17 | 18 |
L'effectif total est \(N=18\). Les deux positions centrales sont :
\[ \begin{aligned} p_1 &= \dfrac{18}{2} = 9 \\ p_2 &= \dfrac{18}{2}+1 = 10 \end{aligned} \]La valeur de rang 9 est 9 et la valeur de rang 10 est 14.
\[ \begin{aligned} M_e &= \dfrac{9+14}{2} \\ M_e &= 11{,}5 \end{aligned} \]Réponse : la médiane est 11,5.
Erreurs fréquentes
- Chercher la valeur centrale avant d'avoir rangé la série.
- Confondre la position centrale avec la valeur de la médiane.
- Pour un effectif pair, choisir une seule des deux valeurs centrales.
- Dans un tableau, utiliser le nombre de colonnes à la place de l'effectif total.
- Additionner les valeurs au lieu d'additionner les effectifs pour construire les effectifs cumulés.
- Réordonner les valeurs d'un tableau sans déplacer leurs effectifs associés.
À retenir
- Toujours ranger les valeurs dans l'ordre croissant.
- Si \(N\) est impair, la médiane est la valeur de rang : \[ p=\dfrac{N+1}{2} \]
- Si \(N\) est pair, la médiane est la moyenne des valeurs de rang \(\dfrac{N}{2}\) et \(\dfrac{N}{2}+1\).
- Dans un tableau, utiliser les effectifs cumulés croissants pour repérer la ou les positions centrales.