Fonctions affines

Définition

Une fonction affine est une fonction qui peut s'écrire sous la forme :

Définition \[ f(x)=ax+b \]

Le nombre \(a\) s'appelle le coefficient directeur. Il indique l'inclinaison de la droite. Le nombre \(b\) s'appelle l'ordonnée à l'origine. Il correspond à l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées.

La représentation graphique d'une fonction affine est toujours une droite.

Exemple \[ f(x)=2x-3 \]

Ici, le coefficient directeur est \(2\) et l'ordonnée à l'origine est \(-3\). La droite associée coupe donc l'axe des ordonnées au point d'ordonnée \(-3\).

Une fonction affine peut avoir deux cas particuliers importants.

Cas particuliers \[ \begin{array}{c|c|c} \text{Forme} & \text{Nom} & \text{Exemple}\\ \hline f(x)=ax & \text{fonction linéaire} & f(x)=3x\\ f(x)=b & \text{fonction constante} & f(x)=5 \end{array} \]

Une fonction linéaire est donc une fonction affine avec \(b=0\). Sa représentation graphique passe toujours par l'origine du repère. On est donc dans une situation de proportionnalité et \(a\) est le coefficient de proportionnalité.

Une fonction constante est une fonction affine avec \(a=0\). Sa représentation graphique est une droite horizontale.

Voici trois exemples de représentations graphiques : une fonction affine « classique », une fonction linéaire et une fonction constante.

Fonction affine

\(f(x)=\frac{1}{2}x+2\) : la droite coupe l'axe des ordonnées en \(2\)

Fonction linéaire

\(f(x)=x\) : la droite passe par l'origine

Fonction constante

\(f(x)=2\) : droite horizontale

Dans le langage des fonctions, un nombre de départ est appelé un antécédent, et le résultat obtenu est appelé son image.

Vocabulaire \[ f(4)=7 \]

Cette écriture signifie que l'image de \(4\) par la fonction \(f\) est \(7\). On peut aussi dire que \(4\) est un antécédent de \(7\) par \(f\).

Niveau 1

Calculer une image ou un antécédent

En mode facile, l'expression de la fonction affine est donnée. Il faut soit calculer une image, soit retrouver un antécédent.

Pour calculer une image, on remplace \(x\) par la valeur donnée dans l'expression de la fonction.

Exemple : image \[ f(x)=3x-5 \]

On cherche l'image de \(4\). On calcule donc \(f(4)\).

Exemple \[ \begin{aligned} f(4) &= 3\times 4 - 5\\ f(4) &= 12 - 5\\ f(4) &= 7 \end{aligned} \]

L'image de \(4\) par \(f\) est donc \(7\).

Pour déterminer un antécédent, on cherche la valeur de \(x\) qui donne l'image demandée. On résout donc une équation.

Exemple : antécédent \[ f(x)=3x-5 \]

On cherche l'antécédent de \(10\). Il faut donc résoudre \(f(x)=10\).

Exemple \[ \begin{aligned} 3x-5 &= 10\\ 3x &= 10+5\\ 3x &= 15\\ x &= 5 \end{aligned} \]

L'antécédent de \(10\) par \(f\) est donc \(5\).

Niveau 2

Déterminer l'expression avec l'ordonnée à l'origine

En mode moyen, on connaît un point situé sur l'axe des ordonnées et un autre point de la droite. Le point situé sur l'axe des ordonnées permet de connaître directement \(b\).

Méthode \[ f(x)=ax+b \]

Si la droite passe par le point \(A(0;b)\), alors l'ordonnée à l'origine est directement \(b\). Il ne reste plus qu'à déterminer le coefficient directeur \(a\) avec l'autre point.

Exemple \[ A(0;-4) \qquad B(2;6) \]

Comme \(A(0;-4)\) est sur l'axe des ordonnées, on sait directement que \(b=-4\). On a donc :

Exemple \[ f(x)=ax-4 \]

Le point \(B(2;6)\) appartient à la droite, donc \(f(2)=6\).

Exemple \[ \begin{aligned} 6 &= a\times 2 - 4\\ 2a &= 6+4\\ 2a &= 10\\ a &= 5 \end{aligned} \]

On a donc \(a=5\) et \(b=-4\). L'expression de la fonction est :

Réponse \[ \boxed{f(x)=5x-4} \]

Niveau 3

Déterminer l'expression avec deux points quelconques

En mode difficile, on connaît deux points de la droite, mais aucun des deux n'est forcément situé sur l'axe des ordonnées. Il faut donc commencer par calculer le coefficient directeur \(a\).

Formule \[ a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} \]

Cette formule mesure la variation des ordonnées divisée par la variation des abscisses. Une fois \(a\) trouvé, on utilise l'un des deux points pour déterminer \(b\).

Exemple \[ A(2;7) \qquad B(5;16) \]

Graphiquement, on peut construire un triangle rectangle entre les deux points. La variation horizontale vaut \(5-2=3\) et la variation verticale vaut \(16-7=9\).

Lecture graphique du coefficient directeur

\(a=\dfrac{\text{variation verticale}}{\text{variation horizontale}}=\dfrac{9}{3}=3\)

On calcule d'abord le coefficient directeur.

Exemple \[ \begin{aligned} a &= \frac{16-7}{5-2}\\ a &= \frac{9}{3}\\ a &= 3 \end{aligned} \]

On sait donc que la fonction est de la forme :

Exemple \[ f(x)=3x+b \]

On utilise ensuite le point \(A(2;7)\), donc \(f(2)=7\).

Exemple \[ \begin{aligned} 7 &= 3\times 2 + b\\ 7 &= 6 + b\\ b &= 7-6\\ b &= 1 \end{aligned} \]

On a donc \(a=3\) et \(b=1\). L'expression de la fonction est :

Réponse \[ \boxed{f(x)=3x+1} \]

Si le coefficient directeur est une fraction, on garde la fraction exacte. Il ne faut pas remplacer une valeur exacte par une valeur approchée.

Niveau 4

Déterminer le point d'intersection de deux fonctions affines

En mode expert, on connaît les expressions de deux fonctions affines. On cherche les coordonnées du point où leurs représentations graphiques se coupent.

Au point d'intersection, les deux fonctions ont la même image. Il faut donc résoudre l'équation :

Méthode \[ f(x)=g(x) \]

La solution de cette équation donne l'abscisse du point d'intersection. Ensuite, on remplace cette valeur dans l'une des deux fonctions pour trouver l'ordonnée.

Exemple \[ f(x)=2x+1 \qquad g(x)=-x+7 \]

On résout \(f(x)=g(x)\).

Exemple \[ \begin{aligned} 2x+1 &= -x+7\\ 2x-(-x) &= 7-1\\ 3x &= 6\\ x &= 2 \end{aligned} \]

L'abscisse du point d'intersection est donc \(2\). On calcule ensuite l'ordonnée avec la fonction \(f\).

Exemple \[ \begin{aligned} f(2) &= 2\times 2 + 1\\ f(2) &= 4+1\\ f(2) &= 5 \end{aligned} \]

Le point d'intersection a donc pour coordonnées :

Réponse \[ \boxed{I(2;5)} \]

Erreurs fréquentes

Confondre l’image de \(x\), qui est \(f(x)\), avec un antécédent.
Intervertir les variations dans le calcul du coefficient directeur.
Utiliser deux points dans des ordres différents au numérateur et au dénominateur.
Lire directement \(b\) sur un point dont l’abscisse n’est pas nulle.
Pour une intersection, trouver seulement l’abscisse sans calculer l’ordonnée.

Méthode

Méthode à retenir :

Une fonction affine s'écrit sous la forme \(f(x)=ax+b\).
Le nombre \(a\) est le coefficient directeur, il indique l'inclinaison de la droite.
Le nombre \(b\) est l'ordonnée à l'origine, il indique où la droite coupe l'axe des ordonnées.
Pour calculer une image, on remplace \(x\) par la valeur donnée.
Pour déterminer un antécédent, on résout l'équation \(f(x)=\text{valeur}\).
Si les coordonnées d'un point de la droite sont \((0;b)\), on connaît directement l'ordonnée à l'origine.
Avec deux points quelconques, on commence par calculer \(a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\).
Pour trouver une intersection, on résout \(f(x)=g(x)\), ce qui donne l'abscisse du point puis on calcule son image par une des deux fonctions ce qui donne l'ordonnée.