DÉVELOPPEMENT ET FACTORISATION

Factorisation avec facteur commun

Fiche de cours pour apprendre à repérer un facteur commun et à transformer une somme ou une différence en produit.

S’entraîner

À retenir

Factoriser, c'est transformer une somme ou une différence en un produit. Il s'agit de l'opération inverse du développement.
Pour factoriser une expression, il faut commencer par repérer le nombre, la lettre ou l'expression qui apparaît dans chacun des termes. Cette partie commune est appelée le facteur commun.
Il est très important de faire apparaître le facteur commun lorsqu'il n'est pas immédiatement visible. L'expression doit être présentée sous la forme :
Méthode \[ \color{red}{\text{facteur commun}} \times \color{blue}{\text{facteur 1}} \;+\; \color{red}{\text{facteur commun}} \times \color{green}{\text{facteur 2}} \] ou \[ \color{red}{\text{facteur commun}} \times \color{blue}{\text{facteur 1}} \;-\; \color{red}{\text{facteur commun}} \times \color{green}{\text{facteur 2}} \]
On écrit ensuite le facteur commun une seule fois devant une parenthèse :
Méthode \[ \color{red}{k}\times\color{blue}{a} + \color{red}{k}\times\color{green}{b} = \color{red}{k} \left( \color{blue}{a} + \color{green}{b} \right) \] \[ \color{red}{k}\times\color{blue}{a} - \color{red}{k}\times\color{green}{b} = \color{red}{k} \left( \color{blue}{a} - \color{green}{b} \right) \]
Pour vérifier une factorisation, on peut développer le résultat. On doit alors retrouver exactement l'expression de départ.

Mode facile

Dans le mode facile, le facteur commun n'est pas toujours écrit directement. Il faut donc commencer par décomposer chacun des termes afin de le faire apparaître.
Exemple \[ A = 6x^2 + 15x \]
Les deux termes contiennent \(3x\). On fait donc apparaître ce facteur commun dans chaque terme :
\[ A = \color{red}{3x}\times\color{blue}{2x} + \color{red}{3x}\times\color{green}{5} \]
On écrit ensuite le facteur commun \(3x\) devant une parenthèse :
\[ A = {\color{red}3x} \left( {\color{blue}2x} + {\color{green}5} \right) \] \[ \boxed{A = 3x(2x+5)} \]
Il faut bien vérifier que le facteur commun multiplie chacun des termes présents dans l'expression de départ.

Mode moyen

Dans le mode moyen, le facteur commun est une expression entre parenthèses. Il est déjà visible dans les deux produits.
Exemple \[ A = {\color{red}(2x+3)}(4x+5) + {\color{red}(2x+3)}(7x+1) \]
Le facteur commun est \(\color{red}{(2x+3)}\). On le place devant une grande parenthèse :
\[ A = {\color{red}(2x+3)} \left[ (4x+5) + (7x+1) \right] \]
Comme il y a un signe \(+\) devant la deuxième parenthèse, on peut supprimer les parenthèses intérieures sans changer les signes :
\[ A = (2x+3)(4x+5+7x+1) \]
On réduit ensuite l'expression située dans la deuxième parenthèse :
\[ \boxed{A = (2x+3)(11x+6)} \]

Mode difficile

Dans le mode difficile, les deux produits sont séparés par un signe moins. Il faut alors être particulièrement attentif au changement des signes lorsqu'on supprime les parenthèses.
Exemple \[ A = {\color{red}(2x+3)}(4x+5) - {\color{red}(2x+3)}(7x+1) \]
Le facteur commun est encore \(\color{red}{(2x+3)}\) :
\[ A = {\color{red}(2x+3)} \left[ (4x+5) - (7x+1) \right] \]
Le signe moins placé devant \((7x+1)\) change les signes de tous les termes contenus dans cette parenthèse :
\[ A = (2x+3)(4x+5-7x-1) \]
On réduit ensuite l'expression située dans la deuxième parenthèse :
\[ \boxed{A = (2x+3)(-3x+4)} \]
Attention : lorsqu'une parenthèse est précédée d'un signe moins, tous les signes situés à l'intérieur de cette parenthèse doivent être changés.

Mode expert

Dans le mode expert, le facteur commun peut être moins évident à repérer. Un terme peut être seul, sans multiplication visible, tandis que l'autre peut contenir un carré.
Exemple \[ A = (4x-5)-(4x-5)^2 \]
Le premier terme \((4x-5)\) peut être écrit comme un produit par \(1\) :
\[ (4x-5) = (4x-5)\times 1 \]
De plus, un carré correspond à une multiplication de l'expression par elle-même :
\[ (4x-5)^2 = (4x-5)(4x-5) \]
On peut donc faire apparaître le même facteur commun dans les deux termes :
\[ A = \color{red}{(4x-5)}\times\color{blue}{1} - \color{red}{(4x-5)}\color{green}{(4x-5)} \] \[ A = \color{red}{(4x-5)} \left[ \color{blue}{1} - \color{green}{(4x-5)} \right] \]
On supprime la parenthèse précédée du signe moins :
\[ A = (4x-5)(1-4x+5) \]
On réduit enfin la deuxième parenthèse :
\[ \boxed{A = (4x-5)(-4x+6)} \]

Points importants

Pour réussir une factorisation, il faut toujours suivre les étapes suivantes :
Méthode
1. Repérer le facteur commun.
2. Le faire apparaître dans chacun des termes s'il n'est pas directement visible.
3. Écrire le facteur commun devant une parenthèse.
4. Placer dans la parenthèse les facteurs qui restent.
5. Supprimer les parenthèses intérieures en faisant attention aux signes.
6. Réduire l'expression lorsque cela est possible.
Remarque importante : le facteur 1 ou le facteur 2 peut être égal au facteur commun lui-même. Cela ne change absolument pas la méthode.
Par exemple, dans \((4x-5)^2\), l'expression \((4x-5)\) est multipliée par elle-même :
À retenir \[ \color{red}{(4x-5)^2} = \color{red}{(4x-5)} \times \color{blue}{(4x-5)} \] \[ \text{facteur commun} \times \text{facteur restant} \]
Le principe reste donc toujours le même : on écrit le facteur commun une seule fois devant une parenthèse, puis on place dans cette parenthèse ce qui reste une fois qu'on a enlevé le facteur commun de chaque produit.