PUISSANCES

Écriture scientifique

Écrire un nombre avec un seul chiffre non nul avant la virgule et une puissance de 10.

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Définition

L’écriture scientifique d’un nombre non nul est de la forme \(a\times10^n\), où \(n\) est un entier relatif et où :

Condition sur le coefficient \[ 1\leqslant |a|<10 \]

Le coefficient \(a\) possède donc un seul chiffre non nul avant la virgule. Pour un nombre positif, on a simplement \(1\leqslant a<10\).

Choisir le signe de l’exposant

  • Lorsque la valeur absolue du nombre est supérieure ou égale à \(10\), l’exposant est positif.
  • Lorsque la valeur absolue du nombre est strictement comprise entre \(0\) et \(1\), l’exposant est négatif.
  • Pour un nombre négatif, le coefficient \(a\) reste négatif.

La valeur absolue de l’exposant correspond au nombre de rangs séparant la virgule initiale de sa nouvelle position.

Exemple 1 — un grand nombre

Écrivons \(145{,}23\) en notation scientifique.

On place la virgule après le premier chiffre non nul : \(1{,}4523\).

La virgule a été déplacée de deux rangs vers la gauche, donc l’exposant vaut \(2\).

Résultat \[ \boxed{145{,}23=1{,}4523\times10^2} \]

Exemple 2 — un petit nombre

Écrivons \(0{,}000\,745\,8\) en notation scientifique.

On place la virgule après le premier chiffre non nul : \(7{,}458\).

La virgule a été déplacée de quatre rangs vers la droite, donc l’exposant vaut \(-4\).

Résultat \[ \boxed{0{,}000\,745\,8=7{,}458\times10^{-4}} \]

Exemple 3 — transformer un produit

Écrivons \(124\times10^5\) en notation scientifique.

Calcul \[ \begin{aligned} A&=124\times10^5\\ A&=1{,}24\times10^2\times10^5\\ A&=1{,}24\times10^{2+5}\\ A&=\boxed{1{,}24\times10^7} \end{aligned} \]

Vérifier une écriture scientifique

Une écriture est scientifique si elle respecte simultanément ces trois conditions :

  1. elle est écrite sous la forme d’un produit par une puissance de \(10\) ;
  2. l’exposant est un entier relatif ;
  3. la valeur absolue du coefficient est comprise entre \(1\) inclus et \(10\) exclu.
Exemples \[ 3{,}7\times10^5\quad\text{est scientifique,} \qquad 37\times10^4\quad\text{ne l’est pas.} \]

Erreurs fréquentes

  • Oublier un chiffre lors du déplacement de la virgule.
  • Choisir un coefficient dont la valeur absolue est supérieure ou égale à \(10\).
  • Mettre un exposant positif pour un nombre dont la valeur absolue est comprise entre \(0\) et \(1\).
  • Changer le signe du nombre de départ.

À retenir

Écriture scientifique \[ \boxed{a\times10^n\quad\text{avec}\quad1\leqslant|a|<10} \]