Notion d'échelles
Comprendre une échelle, calculer une dimension et retrouver l'échelle d'un plan, d'une carte, d'une maquette ou d'une image agrandie.
Comprendre la notion d'échelle
Une échelle compare une dimension sur une représentation à la dimension réelle correspondante.
Avant de comparer les deux dimensions, elles doivent toujours être exprimées dans la même unité.
Échelle de réduction
Une échelle \(1:50\) signifie que \(1\) unité sur le plan représente \(50\) unités dans la réalité.
Le plan, la carte ou la maquette est plus petit que l'objet réel.
Échelle de grossissement
Une échelle \(125:1\) signifie que \(125\) unités sur l'image représentent \(1\) unité dans la réalité.
L'image obtenue avec une loupe ou un microscope est plus grande que l'objet réel.
Méthode détaillée
- Repère la dimension sur la représentation et la dimension réelle.
- Vérifie que les unités sont compatibles. Convertis si nécessaire.
- Pour appliquer une échelle \(1:n\), multiplie par \(n\) pour passer de la représentation à la réalité et divise par \(n\) dans l'autre sens.
- Pour appliquer une échelle \(n:1\), multiplie par \(n\) pour passer de la réalité à l'image agrandie et divise par \(n\) dans l'autre sens.
- Pour retrouver une échelle, calcule toujours : \[ \text{Échelle} = \frac{\text{dimension sur la représentation}} {\text{dimension réelle}} \]
Exemple 1 — Passer d'une maquette à la réalité
Une maquette de train est réalisée à l'échelle \(1:50\). Le train mesure \(36\ \text{cm}\) sur la maquette. Quelle est sa longueur réelle en mètres ?
L'échelle \(1:50\) indique que la dimension réelle est \(50\) fois plus grande que la dimension sur la maquette.
\[ \begin{aligned} \text{Longueur réelle} &= 36 \times 50 \\ \text{Longueur réelle} &= 1\,800\ \text{cm} \\ \text{Longueur réelle} &= 18\ \text{m} \end{aligned} \]Réponse : la longueur réelle du train est de \(18\ \text{m}\).
Exemple 2 — Utiliser une échelle de grossissement
Un insecte est observé au microscope à l'échelle \(125:1\). Sa longueur réelle est de \(0{,}32\ \text{mm}\). Quelle est sa longueur sur l'image ?
L'image est \(125\) fois plus grande que l'insecte réel.
\[ \begin{aligned} \text{Longueur sur l'image} &= 0{,}32 \times 125 \\ \text{Longueur sur l'image} &= 40\ \text{mm} \end{aligned} \]Réponse : l'insecte mesure \(40\ \text{mm}\) sur l'image.
Exemple 3 — Déterminer une échelle avec la même unité
Sur le plan d'un bâtiment, un couloir mesure \(8\ \text{cm}\). Dans la réalité, il mesure \(1\,200\ \text{cm}\).
Les deux dimensions sont déjà exprimées en centimètres.
\[ \begin{aligned} \text{Échelle} &= \frac{8}{1\,200} \\ \text{Échelle} &= \frac{8 \div 8}{1\,200 \div 8} \\ \text{Échelle} &= \frac{1}{150} \end{aligned} \]Réponse : le plan est réalisé à l'échelle \(1:150\).
Exemple 4 — Déterminer une échelle avec des unités différentes
Sur une photographie prise au microscope, un organisme mesure \(9{,}6\ \text{cm}\). Dans la réalité, il mesure \(0{,}24\ \text{mm}\).
On convertit d'abord \(9{,}6\ \text{cm}\) en millimètres.
\[ \begin{aligned} \text{Dimension sur la photographie} &= 9{,}6\ \text{cm} \\ \text{Dimension sur la photographie} &= 96\ \text{mm} \end{aligned} \] \[ \begin{aligned} \text{Échelle} &= \frac{96}{0{,}24} \\ \text{Échelle} &= \frac{96 \div 0{,}24}{0{,}24 \div 0{,}24} \\ \text{Échelle} &= \frac{400}{1} \end{aligned} \]Réponse : la photographie est réalisée à l'échelle \(400:1\).
Erreurs fréquentes
- Calculer le rapport avant d'avoir mis les deux dimensions dans la même unité.
- Inverser le rapport : la dimension sur la représentation se place toujours au numérateur.
- Multiplier alors qu'il faut diviser, ou diviser alors qu'il faut multiplier.
- Confondre \(1:100\), qui est une réduction, et \(100:1\), qui est un grossissement.
- Oublier l'unité lorsque la réponse demandée est une longueur ou une distance.
À retenir
- Toujours commencer par vérifier les unités.
- À l'échelle \(1:n\) : \[ \text{Dimension réelle} = \text{Dimension sur la représentation} \times n \]
- À l'échelle \(n:1\) : \[ \text{Dimension sur l'image} = \text{Dimension réelle} \times n \]
- Pour retrouver l'échelle : \[ \text{Échelle} = \frac{\text{dimension sur la représentation}} {\text{dimension réelle}} \]