Écriture décimale d’une fraction

Définition

Une écriture décimale finie utilise une virgule et un nombre fini de chiffres après cette virgule. Par exemple : \(2{,}75\) est l’écriture décimale de la fraction \(\frac{11}{4}\).

Une fraction dont le dénominateur est 10, 100, 1 000, etc. est appelée une fraction décimale.

Numérateur Il indique le nombre de parts considérées.

Dénominateur Il indique en combien de parts égales l’unité est partagée.

Reconnaître une fraction qui possède une écriture décimale finie

On commence par rendre la fraction irréductible. Elle possède une écriture décimale finie si son dénominateur ne contient que des facteurs \(2\) et \(5\).

\[ \frac{a}{2^p\times5^q} \quad\text{possède une écriture décimale finie.} \]

Par exemple, \(\frac{3}{8}\) possède une écriture décimale finie car \(8=2^3\). En revanche, \(\frac{1}{3}\) n’en possède pas.

Propriété fondamentale

On ne change pas la valeur d’une fraction lorsqu’on multiplie ou lorsqu’on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

\[ \dfrac{a}{b}=\dfrac{a\times k}{b\times k} \qquad\text{et}\qquad \dfrac{a}{b}=\dfrac{a\div k}{b\div k} \]

On utilise cette propriété pour simplifier la fraction, puis pour obtenir un dénominateur égal à 10, 100 ou 1 000.

Lire une fraction décimale

Le nombre de zéros du dénominateur indique le nombre de chiffres à placer après la virgule. Si le numérateur ne contient pas assez de chiffres, on ajoute des zéros à gauche de celui-ci.

Avec un dénominateur 100, il faut toujours prévoir deux positions après la virgule : \(\dfrac{7}{100}=0{,}07\), et non \(0{,}7\).

DÉNOMINATEUR 10

Un chiffre après la virgule

\[ \begin{aligned} A&=\dfrac{37}{10} \\ A&=\boxed{3{,}7} \end{aligned} \]

DÉNOMINATEUR 100

Deux chiffres après la virgule

\[ \begin{aligned} A&=\dfrac{427}{100} \\ A&=\boxed{4{,}27} \end{aligned} \]

Numérateur inférieur au dénominateur

Dans ce cas, le nombre est inférieur à 1 : son écriture décimale commence par 0,. On ajoute si nécessaire des zéros à gauche du numérateur pour obtenir le nombre de chiffres attendu après la virgule.

DÉNOMINATEUR 1 000

Trois chiffres après la virgule

\[ \begin{aligned} A&=\dfrac{73}{1000} \\ A&=\dfrac{\textcolor{red}{00}73}{1000} \\ A&=\boxed{0{,}073} \end{aligned} \]

Choisir la méthode adaptée

On commence toujours par simplifier la fraction si cela est possible. La méthode dépend ensuite du dénominateur obtenu.

\[ \begin{array}{c|c|c} \text{Dénominateur} & \text{Méthode} & \text{Objectif} \\ \hline 2 & \text{division} & \text{diviser par 2} \\ 4 & \text{écriture anglaise} & \text{utiliser } 0{,}25 / 0{,}50 / 0{,}75 \\ 5 & \times2 & 10 \\ 20 & \times5 & 100 \\ 25 & \times4 & 100 \\ 50 & \times2 & 100 \end{array} \]

DÉNOMINATEUR 2

Effectuer la division

Une fraction est une division : on divise le numérateur par 2.

\[ \begin{aligned} A&=\dfrac{7}{2} \\ A&=7\div2 \\ A&=\boxed{3{,}5} \end{aligned} \]

DÉNOMINATEUR 4

Utiliser l’écriture anglaise

Comme le numérateur est supérieur au dénominateur, on effectue la division euclidienne. Le quotient donne la partie entière et le reste donne le numérateur de la partie fractionnaire.

\[ \begin{aligned} 11&=4\times2+3 \\ A&=\dfrac{11}{4} \\ A&=2+\dfrac34 \\ A&=2+0{,}75 \\ A&=\boxed{2{,}75} \end{aligned} \]

DÉNOMINATEUR 5

Multiplier par 2

\[ \begin{aligned} A&=\dfrac{17}{5} \\ A&=\dfrac{17\times2}{5\times2} \\ A&=\dfrac{34}{10} \\ A&=\boxed{3{,}4} \end{aligned} \]

DÉNOMINATEUR 20

Multiplier par 5

\[ \begin{aligned} A&=\dfrac{13}{20} \\ A&=\dfrac{13\times5}{20\times5} \\ A&=\dfrac{65}{100} \\ A&=\boxed{0{,}65} \end{aligned} \]

DÉNOMINATEUR 25

Multiplier par 4

\[ \begin{aligned} A&=\dfrac{43}{25} \\ A&=\dfrac{43\times4}{25\times4} \\ A&=\dfrac{172}{100} \\ A&=\boxed{1{,}72} \end{aligned} \]

DÉNOMINATEUR 50

Multiplier par 2

\[ \begin{aligned} A&=\dfrac{37}{50} \\ A&=\dfrac{37\times2}{50\times2} \\ A&=\dfrac{74}{100} \\ A&=\boxed{0{,}74} \end{aligned} \]

Erreurs fréquentes

Déplacer la virgule sans tenir compte du nombre de zéros du dénominateur.
Multiplier uniquement le dénominateur et oublier le numérateur.
Oublier de simplifier une fraction avant de chercher un dénominateur décimal.
Écrire \(0{,}7\) au lieu de \(0{,}07\) pour \(\dfrac{7}{100}\).
Donner une fraction alors que l’on demande une écriture décimale.

À retenir

Simplifier la fraction si nécessaire.
Avec 2, effectuer la division ; avec 4, utiliser l’écriture anglaise.
Avec 5, se ramener à 10 ; avec 20, 25 ou 50, se ramener à 100.
Avec 10, 100 ou 1 000, placer directement la virgule.
Vérifier que le résultat est cohérent avec la fraction de départ.