Diviseurs, facteurs premiers et PGCD
Reconnaître des diviseurs, décomposer un entier et rechercher le plus grand diviseur commun à deux nombres.
Diviseurs et multiples : le vocabulaire
Si la division d’un entier (a) par un entier non nul (b) a un reste nul, alors (b) est un diviseur de (a).
6 et 7 sont des diviseurs de 42. On dit aussi que 42 est un multiple de 6 et de 7.
- 1 divise tous les nombres entiers.
- Tout entier positif est divisible par lui-même.
- Les diviseurs positifs d’un entier se regroupent par paires de produits.
Les principaux critères de divisibilité
- Par 2 : le chiffre des unités est pair.
- Par 3 : la somme des chiffres est divisible par 3.
- Par 4 : le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4.
- Par 5 : le chiffre des unités est 0 ou 5.
- Par 9 : la somme des chiffres est divisible par 9.
- Par 10 : le chiffre des unités est 0.
Nombres premiers et décomposition
Un nombre premier possède exactement deux diviseurs positifs : 1 et lui-même. Les premiers nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19.
Tout entier supérieur ou égal à 2 peut être écrit comme un produit de facteurs premiers. Cette décomposition est unique, à l’ordre des facteurs près.
Une décomposition n’est aboutie que lorsque tous les facteurs sont premiers.
Le PGCD
Le plus grand commun diviseur de deux entiers est le plus grand entier qui divise ces deux nombres.
À partir des décompositions en facteurs premiers, on conserve les facteurs communs avec, pour chacun, le plus petit exposant.
Si aucun facteur premier n’est commun aux deux nombres, leur PGCD vaut 1 : ils sont alors premiers entre eux.
Exemple 1 — appliquer les critères de divisibilité
Parmi 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 9 ; 10, lesquels divisent 378 ?
- 378 se termine par 8 : il est divisible par 2.
- (3+7+8=18), et 18 est divisible par 3 : 378 est divisible par 3.
- 78 n’est pas divisible par 4 : 378 n’est pas divisible par 4.
- 378 ne se termine ni par 0 ni par 5 : il n’est pas divisible par 5.
- 18 est divisible par 9 : 378 est divisible par 9.
- 378 ne se termine pas par 0 : il n’est pas divisible par 10.
Réponse : 2 ; 3 ; 9.
Exemple 2 — dresser la liste des diviseurs
On cherche tous les diviseurs positifs de 84 en formant les paires de facteurs :
\[ \begin{aligned} 84 &= 1\times84 \\ 84 &= 2\times42 \\ 84 &= 3\times28 \\ 84 &= 4\times21 \\ 84 &= 6\times14 \\ 84 &= 7\times12 \end{aligned} \]Réponse : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 12 ; 14 ; 21 ; 28 ; 42 ; 84.
Exemple 3 — décomposer en facteurs premiers
Décomposons 756 en divisant successivement par les plus petits nombres premiers possibles :
\[ \begin{aligned} 756\div2 &= 378 & 378\div2 &= 189 \\ 189\div3 &= 63 & 63\div3 &= 21 \\ 21\div3 &= 7 & 7\div7 &= 1 \end{aligned} \]On a utilisé deux facteurs 2, trois facteurs 3 et un facteur 7.
\[756=2^2\times3^3\times7\]Exemple 4 — calculer un PGCD
Calculons le PGCD de 360 et 504.
360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
504 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 7
Les facteurs premiers communs sont affichés en rouge. On les conserve autant de fois qu’ils apparaissent dans les deux décompositions.
PGCD(360 ; 504) = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72
Réponse : le PGCD de 360 et 504 est 72.
Erreurs fréquentes
- Confondre « 3 divise 12 » avec « 12 divise 3 ».
- Oublier 1 et le nombre lui-même dans une liste de diviseurs.
- S’arrêter à (60=3 x 20), alors que 20 n’est pas premier.
- Pour un PGCD, conserver un facteur présent dans une seule décomposition.
- Choisir le plus grand exposant au lieu du plus petit exposant commun.
À retenir
- Utiliser les critères pour tester rapidement les divisibilités les plus courantes.
- Former les paires de facteurs pour ne manquer aucun diviseur.
- Diviser successivement par des nombres premiers jusqu’à obtenir 1.
- Pour calculer un PGCD, garder les facteurs premiers communs avec leurs plus petits exposants.