Priorités de calcul avec des fractions

Définition : une expression avec plusieurs opérations

Une expression peut contenir des additions, des soustractions, des multiplications et des parenthèses. On ne calcule pas forcément les opérations dans l’ordre où elles sont écrites : il faut respecter les priorités de calcul.

Les règles de priorité sont les mêmes avec des fractions qu’avec des nombres entiers ou décimaux.

Propriété : l’ordre des priorités

1 Les parenthèses On calcule d’abord tout ce qui se trouve entre parenthèses.

2 Les multiplications On effectue ensuite les multiplications restantes.

3 Les additions et soustractions On les effectue en dernier, de gauche à droite.

À retenir :

Parenthèses → multiplications → additions et soustractions.

Multiplier deux fractions

Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.

\[ \dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d} =\dfrac{a\times c}{b\times d} \]

Lorsque c’est possible, on peut simplifier en croix avant de multiplier. Cela évite de travailler avec de grands nombres.

\[ \dfrac{5}{6}\times\dfrac{3}{10} =\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2} =\dfrac{1}{4} \]

Additionner ou soustraire deux fractions

Deux fractions doivent avoir le même dénominateur avant d’additionner ou de soustraire leurs numérateurs.

\[ \dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c} \qquad\text{et}\qquad \dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{a-b}{c} \]

On ne met pas les fractions au même dénominateur pour les multiplier. Cette étape concerne seulement les additions et les soustractions.

Méthode générale

Repérer les éventuelles parenthèses et calculer leur contenu.
Effectuer les multiplications, en simplifiant en croix si possible.
Effectuer les additions et soustractions restantes de gauche à droite.
Mettre les fractions au même dénominateur uniquement lorsque cela est nécessaire.
Donner le résultat final sous forme irréductible.

NIVEAU 1 — FACILE

La multiplication avant l’addition

Il n’y a pas de parenthèses. On calcule donc d’abord la multiplication. Le dénominateur obtenu est ensuite un multiple de celui de la première fraction : une seule fraction doit être transformée.

Exemple :

\[ A=\dfrac{3}{4}+\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{8} \]

La multiplication est prioritaire.

\[ \begin{aligned} A&=\dfrac{3}{4}+\dfrac{2\times1}{3\times8} \\ A&=\dfrac{3}{4}+\dfrac{2}{24} \\ A&=\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{12} \end{aligned} \]

Comme \(12=4\times3\), on transforme uniquement la première fraction.

\[ \begin{aligned} A&=\dfrac{3\times3}{4\times3}+\dfrac{1}{12} \\ A&=\dfrac{9}{12}+\dfrac{1}{12} \\ A&=\dfrac{10}{12} \\ A&=\boxed{\dfrac{5}{6}} \end{aligned} \]

NIVEAU 2 — MOYEN

Multiplier puis utiliser des dénominateurs premiers entre eux

Après la multiplication, les deux fractions à additionner ou soustraire ont des dénominateurs premiers entre eux. Leur produit est donc un dénominateur commun.

Exemple :

\[ A=\dfrac{5}{6}-\dfrac{2}{3}\times\dfrac{3}{5} \]

On calcule d’abord la multiplication et on simplifie en croix par \(3\).

\[ \begin{aligned} A&=\dfrac{5}{6}-\dfrac{2}{1}\times\dfrac{1}{5} \\ A&=\dfrac{5}{6}-\dfrac{2}{5} \end{aligned} \]

Les dénominateurs \(6\) et \(5\) sont premiers entre eux : \(6\times5=30\).

\[ \begin{aligned} A&=\dfrac{5\times5}{6\times5}-\dfrac{2\times6}{5\times6} \\ A&=\dfrac{25}{30}-\dfrac{12}{30} \\ A&=\boxed{\dfrac{13}{30}} \end{aligned} \]

NIVEAU 3 — DIFFICILE

Calculer obligatoirement la parenthèse avant la multiplication

À ce niveau, l’addition ou la soustraction est toujours placée entre parenthèses. Elle devient donc prioritaire. Le résultat de la parenthèse permet ensuite une simplification croisée lors de la multiplication.

Exemple :

\[ A=\left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{6}\right)\times\dfrac{3}{5} \]

On commence par le calcul entre parenthèses.

\[ \begin{aligned} A&=\left(\dfrac{2\times2}{3\times2}+\dfrac{1}{6}\right)\times\dfrac{3}{5} \\ A&=\left(\dfrac{4}{6}+\dfrac{1}{6}\right)\times\dfrac{3}{5} \\ A&=\dfrac{5}{6}\times\dfrac{3}{5} \end{aligned} \]

On simplifie en croix par \(5\), puis on effectue la multiplication.

\[ \begin{aligned} A&=\dfrac{1}{6}\times\dfrac{3}{1} \\ A&=\dfrac{3}{6} \\ A&=\boxed{\dfrac{1}{2}} \end{aligned} \]

NIVEAU 4 — EXPERT

Repérer quelles opérations sont protégées par des parenthèses

Les parenthèses peuvent être absentes, placées à gauche, placées à droite ou placées des deux côtés de la multiplication. Leur position change l’ordre des calculs et peut donc changer le résultat.

\(\dfrac ab\pm\dfrac cd\times\dfrac ef\pm\dfrac gh\)

\(\left(\dfrac ab\pm\dfrac cd\right)\times\dfrac ef\pm\dfrac gh\)

\(\dfrac ab\pm\dfrac cd\times\left(\dfrac ef\pm\dfrac gh\right)\)

\(\left(\dfrac ab\pm\dfrac cd\right)\times\left(\dfrac ef\pm\dfrac gh\right)\)

Exemple avec deux parenthèses :

\[ A=\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{6}\right) \times\left(\dfrac{5}{7}-\dfrac{1}{7}\right) \]

On calcule d’abord les deux parenthèses.

\[ \begin{aligned} A&=\left(\dfrac{3\times3}{4\times3}+\dfrac{1\times2}{6\times2}\right) \times\left(\dfrac{5}{7}-\dfrac{1}{7}\right) \\ A&=\left(\dfrac{9}{12}+\dfrac{2}{12}\right) \times\left(\dfrac{5}{7}-\dfrac{1}{7}\right) \\ A&=\dfrac{11}{12}\times\left(\dfrac{5}{7}-\dfrac{1}{7}\right) \\ A&=\dfrac{11}{12}\times\dfrac{4}{7} \end{aligned} \]

On simplifie en croix par \(4\), puis on effectue la multiplication.

\[ \begin{aligned} A&=\dfrac{11}{3}\times\dfrac{1}{7} \\ A&=\boxed{\dfrac{11}{21}} \end{aligned} \]

Erreurs fréquentes

Effectuer les opérations de gauche à droite sans regarder les priorités.
Calculer une addition avant une multiplication lorsqu’il n’y a pas de parenthèses.
Ignorer les parenthèses placées autour d’une addition ou d’une soustraction.
Mettre au même dénominateur des fractions que l’on doit multiplier.
Multiplier les dénominateurs lors d’une addition au lieu de chercher un dénominateur commun.
Oublier de simplifier en croix ou de donner le résultat final sous forme irréductible.

À retenir

Ordre des calculs

Calculer les parenthèses.
Effectuer les multiplications.
Terminer les additions et soustractions de gauche à droite.
Simplifier les fractions dès que cela facilite les calculs.
Donner la réponse finale sous forme irréductible.