CALCUL NUMÉRIQUE

Additionner et soustraire des fractions

Il est essentiel de connaître ses tables de multiplications dans ce chapitre.

S'entraîner

Définition d’une fraction

Une fraction représente le quotient de deux nombres. Dans la fraction \(\dfrac{a}{b}\), le nombre \(a\) est le numérateur et le nombre \(b\) est le dénominateur. Le dénominateur ne peut jamais être nul.

Le numérateur Il indique le nombre de parts considérées.
Le dénominateur Il indique en combien de parts égales l’unité est partagée.

Un entier peut toujours s’écrire sous forme de fraction de dénominateur \(1\). Par exemple : \(5=\dfrac{5}{1}\).

Propriété des fractions égales

On ne change pas la valeur d’une fraction lorsqu’on multiplie ou lorsqu’on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

\[ \dfrac{a}{b} =\dfrac{a\times k}{b\times k} \qquad\text{et}\qquad \dfrac{a}{b} =\dfrac{a\div k}{b\div k} \]

La multiplication permet de mettre au même dénominateur. La division permet de simplifier une fraction.

Par exemple :

\[ \dfrac{2}{3}=\dfrac{2\times5}{3\times5}=\dfrac{10}{15} \]

Additionner ou soustraire des fractions

Pour additionner ou soustraire deux fractions, elles doivent avoir le même dénominateur. On additionne ou on soustrait alors les numérateurs et on conserve le dénominateur commun.

\[ \dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c} \qquad\text{et}\qquad \dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}=\dfrac{a-b}{c} \]

On n'additionne / soustrait jamais les dénominateurs entre eux : \(\dfrac{2}{7}+\dfrac{3}{7}=\dfrac{5}{7}\), et non \(\dfrac{5}{14}\).

Méthode générale

  1. Observer les fractions et commencer par les simplifier lorsque cela est possible.
  2. Choisir un dénominateur commun aux deux fractions.
  3. Multiplier le numérateur et le dénominateur de chaque fraction par le nombre adapté.
  4. Additionner ou soustraire les numérateurs en conservant le dénominateur commun.
  5. Simplifier la fraction obtenue si cela est possible.
NIVEAU 1 — FACILE

Un dénominateur est un multiple de l’autre

On choisit le plus grand dénominateur comme dénominateur commun. Une seule fraction doit être transformée.

  1. Repérer le plus grand dénominateur.
  2. Déterminer par combien il faut multiplier le plus petit dénominateur.
  3. Multiplier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par ce même nombre.
  4. Additionner les numérateurs, puis simplifier si nécessaire.

Exemple : \(12=6\times2\). On transforme donc uniquement la deuxième fraction.

\[ \begin{aligned} A&=\dfrac{7}{12}+\dfrac{5}{6} \\ A&=\dfrac{7}{12}+\dfrac{5\times2}{6\times2} \\ A&=\dfrac{7}{12}+\dfrac{10}{12} \\ A&=\boxed{\dfrac{17}{12}} \end{aligned} \]
NIVEAU 2 — MOYEN

Les dénominateurs sont premiers entre eux

Lorsque les deux dénominateurs sont inférieurs à 10, il est facile de les multiplier l'un par l'autre. Cela donne un dénominateur commun égal au produit des deux dénominateurs.

Dans cet exercice, on utilise le produit des dénominateurs affichés. On simplifie ensuite la réponse finale si cela est nécessaire.

  1. Calculer le produit des deux dénominateurs.
  2. Multiplier chaque fraction par le dénominateur de l’autre fraction.
  3. Additionner ou soustraire les numérateurs.
  4. Simplifier le résultat si nécessaire.

Exemple : \(6\) et \(5\) sont premiers entre eux, donc le dénominateur commun est \(6\times5=30\).

\[ \begin{aligned} A&=\dfrac{5}{6}-\dfrac{2}{5} \\ A&=\dfrac{5\times5}{6\times5}-\dfrac{2\times6}{5\times6} \\ A&=\dfrac{25}{30}-\dfrac{12}{30} \\ A&=\boxed{\dfrac{13}{30}} \end{aligned} \]
NIVEAU 3 — DIFFICILE

Rechercher le PPCM avec les listes de multiples

Le PPCM est le plus petit multiple commun aux deux dénominateurs. Pour le trouver, on écrit les premiers multiples de chacun jusqu’à rencontrer le premier nombre commun.

  1. Écrire les premiers multiples de chaque dénominateur.
  2. Repérer le premier multiple présent dans les deux listes : c’est le PPCM.
  3. Transformer les deux fractions avec ce dénominateur commun.
  4. Calculer les numérateurs, puis simplifier si nécessaire.

Exemple :

\[ A=\dfrac{11}{28}+\dfrac{13}{35} \]
\[ \begin{aligned} \text{Multiples de }28 &: 28,\ 56,\ 84,\ 112,\ \boxed{140} \\ \text{Multiples de }35 &: 35,\ 70,\ 105,\ \boxed{140} \end{aligned} \]

Le PPCM de \(28\) et \(35\) est \(140\).

\[ \begin{aligned} A&=\dfrac{11\times5}{28\times5}+\dfrac{13\times4}{35\times4} \\ A&=\dfrac{55}{140}+\dfrac{52}{140} \\ A&=\boxed{\dfrac{107}{140}} \end{aligned} \]
NIVEAU 4 — EXPERT

Simplifier avant de mettre au même dénominateur

Les deux fractions de l’énoncé sont volontairement simplifiables. On commence par les simplifier séparément. On applique ensuite la même méthode que pour le niveau 2.

  1. Repérer le facteur commun au numérateur et au dénominateur de chaque fraction.
  2. Simplifier les deux fractions.
  3. Mettre les fractions simplifiées au même dénominateur.
  4. Calculer les numérateurs, puis simplifier de nouveau si nécessaire.

Exemple : la première fraction est simplifiable par \(5\) et la deuxième par \(7\).

\[ \begin{aligned} A&=\dfrac{10}{15}-\dfrac{7}{28} \\ A&=\dfrac{10\div5}{15\div5}-\dfrac{7\div7}{28\div7} \\ A&=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{4} \\ A&=\dfrac{2\times4}{3\times4}-\dfrac{1\times3}{4\times3} \\ A&=\dfrac{8}{12}-\dfrac{3}{12} \\ A&=\boxed{\dfrac{5}{12}} \end{aligned} \]

Erreurs fréquentes

  • Additionner ou soustraire directement des fractions qui n’ont pas le même dénominateur.
  • Additionner les dénominateurs au lieu de conserver le dénominateur commun.
  • Multiplier seulement le dénominateur d’une fraction et oublier son numérateur.
  • Choisir un dénominateur commun qui n’est pas un multiple des deux dénominateurs.
  • Oublier de simplifier les fractions avant le calcul lorsque cela est possible.
  • Oublier de donner la réponse finale sous forme irréductible.

À retenir

Méthode
  1. Simplifier d’abord les fractions si nécessaire.
  2. Choisir un dénominateur commun adapté.
  3. Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre.
  4. Calculer uniquement les numérateurs.
  5. Conserver le dénominateur commun et simplifier le résultat si possible.